lunedì 10 novembre 2008

PASSIONI D'AMORE E MATEMATICA / 2


Dopo l'unica e breve parentesi di Steven Strogatz [1], è un italiano, Sergio Rinaldi, professore ordinario di Teoria dei Sistemi al Politecnico di Milano, ad occuparsi degli studi sulle dinamiche dell'amore in chiave matematica [2].
E questo lo fa analizzando le variabili in gioco nel corso della passione amorosa scoccata tra due giovani poco più che ventenni e nota a qualunque studente delle superiori, che si svolse alcune centinaia di anni fa.
Precisamente nel quattordicesimo secolo!

Si tratta questa di una delle dimostrazioni d'amore più celebrate di tutti i tempi, quello tra il poeta italiano Francesco Petrarca e Laura, nella raccolta di poesie il Canzoniere [3]. Come è noto siamo di fronte a una pietra miliare della letteratura italiana, che segna il passaggio dal medioevo all'epoca moderna.

Rinaldi riflette su un problema tuttora aperto.

"Come è possibile - si chiede - che da quando il calcolo differenziale venne introdotto da Isaac Newton, tutti i fenomeni fisici, biologici, economici e quelli presenti in numerose altre scienze siano stati studiati con accuratezza ad esclusione di uno tra più importanti problemi che riguarda intimamente le nostre vite: le dinamiche dell'amore?".

Rinaldi parte da alcuni considerazioni iniziali: si sa che Petrarca conobbe Madonna Laura, una donna sposata, nella chiesa di Santa Chiara nella città francese di Avignone il 6 aprile 1327, all'età di ventitré anni. I successivi ventun'anni, il poeta li passerà a descrivere il proprio amore, sovente non ricambiato, per lei.

Dalle sue poesie è possibile ascrivere un resoconto completo del suo desiderio appassionato, ma anche dei suoi sbalzi d'umore nel tempo.
Petrarca descrive in maniera a volte delirante la propria passione, seguita da periodi di disperazione per la totale indifferenza dell'amante, per poi nuovamente perdonarla appena lei si rivolgeva a lui con uno sguardo. E sappiamo cosa potesse vole dire uno sguardo di approvazione a quei tempi: qualcosa di veramente piccante!

Il lavoro di Rinaldi prende in considerazione dapprima uno studio condotto da Frederic Jones, dell’Università di Wales, Cardiff, che quindici anni prima aveva svolto [4] una attenta analisi linguistica e stilistica del Canzoniere.

Jones divise le poesie preferendo quelle in cui Laura era ancora viva, assegnando un valore che va da −1 a +1 per ogni poema. Il massimo grado (+1) corrisponde all'estasi amorosa mentre il più basso (-1) a disperazione profonda, come nel sonetto LXXIX
Così mancando vo di giorno in giorno, sì chiusamente, ch’i’ sol me ne accorgo et quella che guardando il cor mi strugge.
Gradi intermedi invece indicano un sentimento più simile all'ardore, all'amore sereno, all'amicizia benevola.
Come ad esempio troviamo nel sonetto CLXXVI, dove Petrarca scrive:
Parme d’udirla, udendo i rami et l’ore et le frondi, et gli augei lagnarsi, et l’acque mormorando fuggir per l’erba verde.
quantificabile con un −0.45 (corrispondente a melanconia).

Anche il comportamento di Laura è descritto con minuzia, come ad esempio nel CXLIX in cui il sentimento verso di lei si fa meno sofferente e più fiducioso nel ricambiato amore.

Di tempo in tempo mi si fa men dura
l’angelica figura e’l dolce riso,
et l’aria del bel viso
e degli occhi leggiadri meno oscura

Le date e i valori per ciascuno dei 23 poemi presi in considerazione da Jones sono rappresentati dal seguente grafico, insieme ai segmenti di interpolazione.


E qui si ha un primo indizio: dalla distanza tra i segmenti traspare una certa regolarità. Come se appartenessero a circostanze che presentassero una cerca ciclicità.

In altre parole ci si accorge di come il Petrarca cambiasse i suoi sentimenti nei confronti di Laura all'incirca ogni quattro anni.

Jones completò poi il lavoro con le poesie non datate (gli studiosi si sono sempre sforzati di ritrovare l'ordine cronologico dei versi) collocandole all'interno del ciclo facendosi aiutare non solo dal loro contenuto stilistico ma anche da informazioni storiche o geografiche sulla vita del Petrarca.
I dati combaciavano ma Jones si rese conto che per provare il suo schema era necessario l'utilizzo di un modello matematico.

Ed è qui che Rinaldi gli corre in aiuto, descrivendo con L(t) il rapporto di Laura con il poeta.

Come Steve Strogatz aveva descritto minuziosamente tutti i sentimenti che potevano nascondersi nella vicenda amorosa di Romeo e Giulietta, così Sergio Rinaldi descrive in 3 sole equazioni il sentimento di vent'anni di passioni e delusioni attraverso la carica poetica che influenzò Petrarca nel suo Canzoniere:





In queste tre minute equazioni c'è tutto l'intero mondo e la vita amorosa di un poeta della grandezza del Petrarca.

C'è da puntalizzare, come precisa Rinaldi, che questo modello rappresenta le personalità di Petrarca e di Laura ermergenti da "tutte le poesie del Canzoniere", e non solo dai particolari 23 poemi (quelli databili durante la vita di Laura) studiati empiricamente da Jones. Lo studio assume qui dunque un valore più generale oltre che rigoroso.

Con un po' di esercizio, comprendere le tre equazioni non è difficile. E' infatti evidente che L sta per Laura e P per Petrarca.
Le tre equazioni descrivono l'interrelazione tra l'interesse di Laura, la passione del Petrarca e la creatività poetica di quest'ultimo. Ognuna di queste tre equazioni descrive in maniera decisiva l'aspetto che prenderà il Canzoniere nel corso della vita amorosa dei due amanti.
Potenza della matematica!

Vediamo ora di capire, cercando di essere più chiari possibile, cosa rappresentano per noi le tre equazioni.

Nella prima equazione valori positivi di L esprimono inclinazioni positive, amicizia, simpatia mentre i valori negativi esprimono freddezza e avversione.
L'equazione consiste di tre termini: il primo (che diventa negativo per valori positivi di L) descrive quel processo di oblio che caratterizza i sentimenti durante il loro cambiamento. Il secondo, chiamato RL (P), è la reazione di Laura per l'amore del Petrarca. Infine il terzo è la risposta di lei a questo suo richiamo.

Siccome la personalità di Petrarca è però piuttosto complessa è necessario introdurre altre due variabili: P(t) che esprime l’amore per Laura e Z(t), che esprime l'ispirazione poetica del Petrarca e che condiziona i suoi sentimenti amorosi.

L'equazione (2) è simile alla (1) ma con una eccezione: la risposta di Petrarca per Laura dipende anche dalla sua ispirazione Z.

Questa conclusione parte dal presupposto che alte inclinazioni morali, come quelle dettate dall'ispirazione artistica, possono influenzare i più bassi istinti.

Per esempio nella sestina XXII, egli scrive

Con lei foss’io da che si parte il sole,
et non ci vedess’ altri che le stelle,
sol una nocte, et mai non fosse l’alba;
mentre da Posteritati, le epistole, noi sappiamo che mentre scriveva altri impulsi meno poetici lo divoravano!
Egli confessò infatti che: “Libidem me prorsus expertem dicere posse optarem quidem, sed si dicat mentiar” [trad. "Mi piacerebbe poter credere che sia assolutamente senza libidine, ma se lo dicessi so che mentirei"].

La seguente formula (contenuta nella seconda equazione)


descrive invece con estrema eleganza una constatazione universale: che, tranne in presenza di rare patologie, "tutti amiamo essere amati e odiamo essere odiati".

La matematica che sta dietro queste tre formule permette di esprimere sentimenti contrastanti che si instaurano nella coppia. Alcuni di questi sentimenti traspaiono dalle equazioni differenziali e indicano:
  • Come Laura e Petrarca rispondono l'uno al richiamo dell'altro
  • Le variazioni nei sentimenti dell'uno alla mancanza di attenzioni dell'altro
  • L'influenza sull'ispirazione poetica di Petrarca generato dalla sua passione per Laura
  • Come il tempo dedicato alla poesia influisca positivamente sull'ossessione di lui per lei
  • La repulsione di Laura quando questa viene travolta dalla passione del poeta per lei
  • Come Laura si dispiaccia per lui quando sa che sta patendo le pene del suo rifiuto e il venir meno dei suoi sentimenti ostili quando si sente adulata dal proprio ammiratore
più altre lievi sfumature che è possibile desumere intepretando finemente le variabili.

Soprendente, vero, quanto potente può dimostrarsi la matematica?



Ecco il grafico presentato da Sergio Rinaldi, dove la variabile P(t), asse delle y, esprime l’amore per Laura, in funzione del tempo, espresso in anni.

Chi desiderasse provare il modello di Rinaldi, segnaliamo questa pagina, che risolve graficamente il sistema di equazioni differenziali proposto al variare delle variabili.

http://math.colgate.edu/~wweckesser/solver/LauraAndPetrarch.shtml

Ma qual è lo scopo di questo esercizio intellettuale? Rinaldi cerca qui di attrarre l'attenzione dei ricercatori che studiano la psicologia umana. Collaborando con un altro matematico italiano, Alessandra Gragnani e con un matematico australiano, Gustav Feichtinger, ha utilizzato questo metodo per lo studio delle nevrosi.

Per esempio ci si chiede: è possibile prevedere l'evolvere di una relazione amorosa burrascosa includendo certe nevrosi nel modello matematico delle "equazioni dell'amore"?

Rinaldi prende dunque a studiare una variabile importante, che rientra nelle dinamiche di questa coppia e di altre coppie, oseremmo dire... problematiche: la sicurezza!
Ovvero si possono ritrovare delle differenze comportamentali tra legami tra individui sicuri rispetto a individui insicuri?
Il lavoro di ricerca è stato condotto da due psicologi canadesi, Dale GRiffin e Kim Bartholomew.

Ma la ricerca di Rinaldi non si arresta qui. Continuerà infatti lo studio anche di altri modelli potenzialmente applicabili a tutte le coppie di innamorati.

Come nel caso della lunga e turbolenta relazione triangolare, descritta nel romanzo autobiografico "Jules et Jim" di Henri Pierre Roché (1953) e poi ripresa da François Truffaut in uno dei suoi film più noti.

“Divergenze e convergenze” che la protagonista, Catherine imprime al sistema, con il suo sentimento di imprevedibilità che ne definisce il ruolo di “attrattore” o, come si indichedebbe in un sistema caotico, il ruolo di “attrattore strano”, rappresentato graficamente come le ali di una farfalla...

Ma di queste, e di altre "piccanti tresche amorose", racconterò nel prossimo articolo dedicato a "Passioni d'amore e matematica".


NOTE BIBLIOGRAFICHE

[1] Steven H. Strogatz - Love Affairs and Differential Equations - Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 1 (Feb., 1988), p. 35

[2] Rinaldi, S. 1998. "Laura and Petrarch: An intriguing case of cyclical love dynamics".
SIAM Journal of Applied Mathematics 58 (August):1205.
http://www.siam.org/journals/siap/58-4/30592.html
Il PDF scaricabile dell'articolo è presente al seguente link:
http://math.la.asu.edu/~bdw/MAT275/PROJECTS/LOVEHATE/reference.pdf

[3] Le rime del Canzoniere sono disponibili sul sito del Progetto Manuzio:
www.liberliber.it/home/index.php



[4] Frederic J. Jones, The Structure of Petrarch's Canzoniere A Chronological, Psychological and Stylistic Analysis, Boydell & Brewer, 1995


7 commenti:

giovanna ha detto...

Potenza della matematica! E' il caso di dirlo.
Il Matematico analista-psicologo!
Più analista di così...:-)
ps.: Mi era sfuggito il [1]
grazie Claudio.
g

Claudio Pasqua ha detto...

Hai ragione, Giovanna: questi ingegneri non finiscono mai di stupirci :-)
Grazie e a presto!

Francesco Giuseppe Pianori ha detto...

L'osservazione anche superficiale del grafico riportato svela l'arcano: Petrarca soffriva di sindrome bipolare o psicosi maniaco-depressiva, facilmente riscontrabile in persone particolarmente sensibili.
Petrarca lavorava molto di fantasia nella relazione amorosa con Laura. Un po' come diceva mia madre: "E' l'amore di Turlulù, lo sa lei e non lo sa lù(i)".
La fortuna di Petrarca è stata quella di essere nato prima della psichiatria moderna: sarebbe finito sicuamente in una clinica per malati mentali con massicce dosi di psicofarmaci.
L'ampiezza e l'altezza delle onde del grafico rivelano una forma tendenzialmente blanda.
Non per nulla la sindrome bipolare è annoverata fra le distimie affettive.

Annarita ha detto...

Complimenti, Claudio! Articolo avvincente. E' appassionante analizzare le equazioni dell'amore.

Lo studio di Rinaldi sottolinea ancora una volta come la Matematica oltre che bella sia anche utile.

Poter utilizzare infatti il metodo sopra descritto in campo psicologico, in particolare, delle nevrosi non può che favorire la conoscenza della psiche umana!

Che potenza questa Matematica!;)

Anonimo ha detto...

Leggo con curiosità i tentativi di mettere in contatto campi diversi, come la letteratura e la matematica. Ma dal punto di vista filologico (il mio) ho molti dubbi riguardo alla possibilità di interpretare testi letterari sulla base di formule (ci aveva provato già la Kristeva negli anni '70: ma oggi ci si rende che era un fallimento).
Ho come l'impressione che tutto il tentativo di raccogliere in formula l'esperienza d'amore di Petrarca sia in realtà viziata da un'ingenuità di fondo: mi sembra che qui si confonda la rappresentazione artistica (il "Canzoniere" di Petrarca) con un'esperienza d'amore reale, vissuto da Petrarca - che in realtà sono due cose diverse: non si può presumere che il Canzoniere racconti una storia d'amore così come è successa. Si tratta di una rielaborazione poetica (Petrarca ha passato tutta la sua vita a ritoccare i testi della sua raccolta).
Mi sembra, cioè, che tutte le osservazioni svolte non si possano applicare alla "vita" di Petrarca (e quindi a un'esperienza d'amore), ma al "testo" di Petrarca, e quindi a un'opera frutto di meditazione e di scelte volute dal poeta (inclusioni e esclusioni di episodi, ad esempio).
La ciclicità dei temi, ad esempio, è una scelta meditata di Petrarca, che ha costruito il Canzoniere con una paticolare attenzione alla dimensione calendariale dei testi (che sono 366, come i giorni di un anno bisestile).
Inoltre, mi sembra che sia difficile decidere per quale variabile valutare in una simile operazione: perchè "la creatività", e non ad esempio "la cultura letteraria" (per cui Petrarca assume, nella sua rappresentazione dell'esperienza erotica, l'esperienza degli elegiaci latini, ma anche dei provenzali, o di Dante)? O perchè non prendere in considerazione il suo status: Petrarca era un chierico, e in un'esperienza d'amore questa cosa ha un peso.
Forse sono sembrato un po' polemico :-) Ma non era mia intenzione - e comunque mi piacciono gli sforzi di divulgazione scientfica!

Matteo ha detto...

Chiedo scusa: volevo mettere un nome al post che ho inviato su Petrarca, ma non è apparso. Matteo.

Claudio Pasqua ha detto...

E' molto interessante la sua riflessione, Matteo, e la ringrazio per averci scritto.

Ma non vorrei che mal interpretasse i risultati di Rinaldi.

Quello che lei chiama "ingenuità di fondo" nell'interpretazione di una espressione artistica (o di un evento naturale), è ciò che in matematica (e nelle scienze esatte) è chiamato "modello".

Sono le regolarità in natura ciò che affascinano un matematico.

Per studiare le regolarità si adottano quelli che nelle "scienze dure" vengono proprio chiamati modelli.

Un modello non potrà mai essere "realistico". Lo stesso termine realistico è fuorviante (realistico per chi? Per la nostra mente o per la mente di un pipistrello?).

Inoltre una cosa è volere un modello realistico, un'altra è realizzarne uno che sia accessibile a una analisi di tipo matematico.

Non si ottiene nessuna comprensione se un modello è più complicato del fenomeno che si deve descrivere.

E' questo che rende l'ideazione di modelli matematici non solo una scienza ma un'arte: un modello elegante rappresenta il perfetto compromesso fra la semplicità e verosimiglianza.

Ciononostante questo non significa che un modello sia lontano dal descrivere la realtà che osserviamo.

Faccio alcuni esempi.

Anche se la sincronia è onnipresente in ogni essere vivente la sua funzione matematica non è sempre ovvia.

Mentre sta leggendo questo commento di fronte allo schermo del suo PC, le sue onde celebrali stanno assumendo degli schemi ben precisi, riconoscibili rispetto ad esempio a quelli della mente di uno schizofrenico.

O diversi da quelli che ad esempio vedremmo se fosse di fronte a una bella ragazza :-)

Sappiamo che è possibile rappresentare su un asse cartesiano (sia visivamente che sonoramente) e studiare per mezzo di equazioni differenziali non lineari accoppiate le onde del suo cervello.

Immagini sia sera, dopo avere finito di leggere lei andrà a dormire....
E' qui che il suo ciclo circadiano prenderà il sopravvento.

Il ciclo circadiano è legato matematicamente al ciclo della sua temperatura corporea.

Una formula di conversione studiata da Czeisler dice che la temperatura corporea raggiunge in genere il punto più basso circa una o due ore prima del momento abituale della sveglia. Possiamo tracciare un grafico e studiarne l'andamento per predire ad esempio quando si sveglierà, con due ore di anticipo.

Creisler e Weizman hanno scoperto che molti ritmi fisiologici e cognitivi sono legati alla fase del ciclo della temperatura corporea.

Per esempio il suo livello di vigilanza, la durata e la qualità del suo sonno (ad esempio il numero di fasi REM) che sono descrivibili da un insieme di equazioni differenziali.

Possiamo anche sapere con esattezza se ha sognato, quante volte, e se i suoi sogni sono stati realistici oppure onirici (irreali) semplicemente osservando la durata e la frequenza delle sue onde alfa.


Studi successivi hanno dimostrato che i ritmi della memoria a breve termine, della secrezione dell'ormone della melatonina nel cervello e di molte altre funzioni cognitive e fisiologiche procedono con lo stesso periodo e si mantengono in rapporto di fase costante con il ciclo di temperatura corporea.

Se lei fosse una donna e avesse vissuto in gruppo, per esempio condividendo l'alloggio con un'amica, forse avrebbe notato come il suo ciclo avesse probabilità di agganciarsi a quello della sua amica, per poi allontanarsene in caso di separazione prolungata.

Genevieve Switz studiò come dai cicli mestruali di donne diverse emergesse una sincronia mediata dai feromoni. Un dialogo chimico silenzioso messo in evidenza dalla matematica.

Potrei continuare a lungo con altri esempi, la matematica descrive anche patologie complesse, comportamenti devianti... ma pensi solo a questo: se osserva gruppi di migliaia di lucciole che lampeggiano in sincronia (come accade in certi paesi) o pensa a come pulsano le cellule "pacemaker" del suo cuore, lei in realtà sta osservando lo stesso fenomeno naturale, che è possibile perché le lucciole comunicano tra loro con la luce mentre le cellule cardiache si trasmettono segnali elettrici.

Chi lavora in questi settori sa che questi sono fenomeni perfettamente decrivibili da equazioni matematiche.

Ciò che rende appassionanti questi misteri è il fatto che si trovino ai confini della matematica conosciuta. La scienza della complessità è una disciplina relativamente giovane infatti (non più di 40-50 anni). E solo negli ultimi 10 anni si sono fatte le scoperte più sconvolgenti.

Questo Kristeva non poteva ancora saperlo!

Studiando fenomeni via via più complessi si amplificano terribilmente le difficoltà matematiche.

Ecco perché il miglior compromesso di un modello è quello tra la sua semplicità e la sua predicibilità.

Un modello deve anche sapere predire situazioni future, e non solo passate. I ritmi circadiani, ma anche i comportamenti sociali di individui sani ma anche quelli disturbati da psicosi o nevrosi sono studiati in quella che viene chiamata scienza della complessità (che non vuol dire complicata).

L'accezione "complesso" sta qui a significare un sistema formato da parti che fa emergere caratteristiche che non sono solo la somma delle parti.

Un esempio?

La nostra coscienza è quella che si definisce una situazione "emergente" del nostro cervello, che non può spiegarsi semplicemente come la somma delle parti, di neuroni e sinapsi, cioè.

Se si isola un neurone infatti non si ottiene un neurone "cosciente".

Così ad esempio c'è una intelligenza collettiva in un termitaio che è maggiore della somma delle intelligenze dei singoli indiviui.

Un termitaio è capace di prendere decisioni che un singolo individuo non riuscirebbe mai a trovare se fosse isolato. Il comportamento del gruppo è dunque una situazione emergente che non emerge da quella di un singolo individuo.

Le consiglio un ottimo libro che spiega questi ed altri affascinanti aspetti di come si possa usare la matematica in maniera da spiegare fenomeni sincronici.

Steven Strogats
SINCRONIA
Rizzoli

Lo legga e poi ne riparleremo :-)

Inoltre può leggere l'ultima nostra intervista alla matematica Maria Rosa Menzio che meglio ha saputo coniugare modelli matematici ed espressione artistica.

Ho creduto fosse la persona più adatta a rispondere alle sue riflessioni. E credo che in lei troverà molte risposte...

Una sola nota per concludere.

Mi sarei aspettato una obiezione che farò io, visto che non è stata sollevata.

E cioè che sembrerebbe da studi filologici (ma mi corregga se sbaglio) che il Poeta abbia incluso nel Canzoniere rime già composte sia per Laura, sia per altre donne, attribuendole poi tutte alla stessa donna.

Infine pare che egli abbia aggiunto altre rime in modo da rappresentare Laura come l'unico puro amore, che riconduce a Dio...

Questo però non cambierebbe nulla rispetto al modello utilizzato.

Quello che Rinaldi ha studiato, infatti, è l'umore del Petrarca, e non l'oggetto del suo desiderio.

Grazie ancora per la sua riflessione che mi sarà di stimolo per un prossimo articolo!

Claudio