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mercoledì 14 luglio 2010

IL CARNEVALE DELLA MATEMATICA SU "IL POST"




Oggi, 14 luglio, è la festa nazionale francese, il giorno della presa della Bastiglia, ci ricorda .mau., in arte Maurizio Codogno (o viceversa), che ospita su "il Post" il CARNEVALE DELLA MATEMATICA, giunto alla sua ventisettesima edizione.

Come si affretta a spiegare il nostro, che ne è anche il fondatore, il Carnevale della Matematica è un’iniziativa presa a modello dai blog in lingua inglese; il 14 ogni mese – il giorno è scelto perché π si approssima con 3,14.


Il contributo di Gravità Zero di questo mese è tutto "in famiglia". Walter Caputo continua la chiacchierata sull’approccio all’Analisi Matematica elaborato dal Prof. Yaroslav Sergeyev con il post "Un nuovo punto di vista su successioni e serie"; mentre Luigina Pugno, moglie di Walter Caputo, si “confessa” a Gravità Zero in "Vita con un aspirante matematico", raccontando cosa si prova a vivere a fianco di un aspirante matematico.

Ricordiamo anche l'edizione dei nostri amici spagnoli del Carnaval de Matematicas (qui il social network) che sarà ospitato questo mese sul blog sangakoo.

Il prossimo Carnevale della Matematica (edizione 28) sarà ospitato da ZAR sul blog gli studenti di oggi proprio il giorno precedente ferragosto: il 14 agosto.

Mentre per ospitare il Carnevale visitate il sito matematti oppure inviate una email a dotmaudot (at) gmail.com


AL MARE CON MATEFITNESS




Per il terzo anno consecutivo, BeachMat, l’originale tourneè estiva di divulgazione della matematica ideata da MateFitness, la palestra della matematica, e sperimentata per la prima volta con grande successo nell’estate del 2008, torna ad animare dal 20 al 29 luglio alcune bellissime località balneari liguri.

A conferma del rapporto ormai consolidato con l’amministrazione di Spotorno (SV), ed in particolare con l’Assessorato alla Cultura, la tourneè prenderà il via proprio da questa località, con una “due giorni” spumeggiante, il 20 e 21 luglio prossimi.

Il ricco programma di animazione scientifica prevedrà giochi in spiaggia al mattino, attività “sotto l’ombrellone” o in biblioteca nelle ore più calde della giornata, e animazione al tardo pomeriggio e in serata, in piazza e sul lungomare. Giochi a squadre, sfide individuali e la speciale caccia al tesoro matematica coinvolgeranno i bagni Astoria, Colombo, Spotorno e Torino e culmineranno mercoledì 21 luglio alle 21.30, nel palco sul mare allestito in Piazza della Vittoria, con MateMagica, la nuovissima conferenza interattiva a base di carte magiche, telepatia, illusioni ottiche, anelli incantati e rompicapi che svelerà ad un pubblico di tutte le età come la matematica a volte possa sembrare magia.

A grande richiesta, MateMagica tornerà il 29 luglio alle 21 a Chiavari (GE), presso la splendida Villa Rocca.

L’intento di BeachMat, fedele agli obiettivi divulgativi della palestra della matematica genovese e condiviso dai comuni che aderiscono all’iniziativa, è offrire a turisti e pubblico locale l’occasione di scoprire una nuova faccia della matematica, divertente, coinvolgente ed accessibile a tutti attraverso una forma ormai sperimentata e di grande successo di “intrattenimento intelligente” che si basa sul gioco e sull’interazione con gli altri. Dai trucchi del sudoku alla geometria delle stelle marine, dalle proprietà matematiche della granita ai segreti delle barche a vela, i turisti di ogni età potranno riscoprire il lato divertente e utile della matematica e tenere “allenata” la mente … tra un tuffo e l’altro!

Allo stesso modo grandi e piccini, e gli studenti in particolare, potranno “ripassare” i tanti concetti appresi a scuola in maniera divertente e originale, sfatando finalmente il mito della matematica come materia ostica e noiosa.

Le attività riprenderanno a settembre e continueranno ad ottobre con il prossimo Festival della Scienza (29 ottobre – 7 novembre 2010), in cui MateFitness proporrà quest’anno la mostra interattiva Odissea un viaggio per mare nella culla della matematica che conosciamo: il Mediterraneo; e i più curiosi potranno fare i conti con la geometria non euclidea, con la mostra di design Paral lex.

Per informazioni e approfondimenti, visitate il sito internet www.matefitness.it.

MateFitness è un progetto del CNR-PSC, ideato da Manuela Arata (Dirigente ufficio PSC), Giuseppe Rosolini (ordinario di logica matematica presso Università degli Studi di Genova) e Giovanni Filocamo (fisico progettista e comunicatore scientifico), nato da una collaborazione con l’Università di Genova e Palazzo Ducale. MateFitness opera sul territorio nazionale partecipando a festival culturali e realizzando progetti di divulgazione, formazione e didattica creativa della matematica. La palestra della matematica è sita a Genova ed è uno spazio permanente a disposizione di pubblico e scuole, dove “allenare la mente” attraverso oltre 300 attività matematiche ludico-interattive.


domenica 11 luglio 2010

UN NUOVO PUNTO DI VISTA SU SUCCESSIONI E SERIE

Se consideriamo una sequenza infinita di elementi, definita an , dove “n” è un numero naturale, ed an appartiene ad un insieme “A”, stiamo prendendo in esame quella che normalmente viene chiamata successione. Ad esempio, potrebbe trattarsi semplicemente dell’insieme dei numeri naturali, dove a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3……, an = n, ovvero di una successione che ha sia il dominio che il codominio (o insieme immagine) uguale ad N (insieme dei numeri naturali). In buona sostanza abbiamo “n” posizioni, ed a ogni posizione corrisponde un numero intero positivo. Detto in termini ancora più semplici, siamo di fronte ad “n” scatole, ciascuna delle quali contiene un numero intero positivo. La prima è contrassegnata 1 e contiene proprio il numero 1, la seconda è contrassegnata 2 e contiene il 2 e così via.

La prima domanda che possiamo porci è: quante scatole abbiamo in tutto?
Secondo l’approccio all’Analisi Matematica elaborato dal Prof. Yaroslav Sergeyev (*), dato che l’ultimo numero naturale, ovvero il più grande di tutti, si chiama grossone, la risposta è: abbiamo un numero di scatole pari a (= simbolo del “grossone”). Quindi il grossone è un’unità di misura dell’infinito, che ci consente di dire quanti elementi sono contenuti in una sequenza infinita di elementi. Questo è un primo importante risultato dell’applicazione del grossone come unità di misura ad una sequenza infinita di elementi: sebbene il numero di elementi sia infinito, siamo finalmente in grado di stabilire la quantità di elementi in oggetto. Si può quindi affermare che una successione non può avere un numero di elementi maggiore di .

Se dalle successioni passiamo alle serie, cioè a somme, dobbiamo considerare che una serie può avere un numero di elementi maggiore di . Allora la seconda domanda che possiamo porci è: se abbiamo una sequenza infinita di elementi, a quanto ammonta la somma di tutti gli elementi? A prima vista sembra una di quelle domande impossibili o almeno paradossali: se il numero di elementi è infinito, come possiamo sommare infiniti elementi e calcolarne addirittura il risultato? E soprattutto, com’è possibile eseguire un calcolo di questo genere senza far ricorso ai limiti, cioè ad una forma di approssimazione? Tenete conto che stiamo cercando un risultato preciso, che sia addirittura automatizzabile, cioè che sia traducibile in software per computer. Ebbene, grazie al nuovo approccio del Prof. Sergeyev (si veda il suo articolo “Numerical point of view on Calculus for functions assuming finite, infinite, and infinitesimal values over finite, infinite, and infinitesimal domains”) tale calcolo è diventato possibile.

Partiamo dal fatto che una sequenza di numeri è in progressione aritmetica se la differenza fra ogni numero e quello che lo precede è costante. Ad es. la successione proposta ad inizio articolo, cioè 1,2,3,4,5,…,n,… è in progressione aritmetica perché la distanza fra ogni numero e il precedente è costante e, in questo caso, pari ad 1. Altri esempi potrebbero essere 1,3,5,7,… oppure 1,5,9,13,….
Se abbiamo una successione in progressione aritmetica e vogliamo calcolare la somma dei primi “n” termini, basta dividere “n” per 2 e poi moltiplicare il risultato per (a1 + an), cioè per la somma fra il primo e l’ultimo termine. Applichiamo tale formula alla somma dei seguenti numeri: 1,2,3,4: otteniamo (4/2) per (1+4), cioè 2 per 5, quindi 10. Effettivamente abbiamo 4 elementi in tutto; il primo è 1 e l’ultimo è 4. Otteniamo 10 anche sommando direttamente i numeri 1,2,3,4.

Come possiamo calcolare la somma non solo dei primi 4 numeri ma di tutti i numeri naturali (considerando che sono infiniti)? Basta considerare che il numero complessivo di elementi è pari a , e che il primo è 1, mentre l’ultimo è . Di conseguenza, se applichiamo la formula precedente, otteniamo (/2) per (1 + ). Ma (/2) è equivalente a (1/2) per , cioè a 0,5 (nel senso di 0,5 per ). Allora, a questo punto, moltiplichiamo 0,5 per (1 + ), ottenendo 0,5 + 0,52 (in quanto per fa al quadrato), risultato che va scritto come 0,52 + 0,5, perché, nei sistemi posizionali, prima si scrivono le potenze più grandi e poi quelle più piccole. Ma che numero abbiamo ottenuto? Che cos’è 0,52 + 0,5? In buona sostanza, a quanto ammonta la somma di questa sequenza infinita di termini?

Nel nuovo sistema numerale introdotto dal Prof. Sergeyev, i numeri sono composti da “parti” contenenti . Se ha potenza zero (e quindi fa 1, perché 0 = 1), la parte in oggetto è finita; se invece ha potenza positiva almeno finita, la parte è infinita; se infine ha potenza negativa almeno finita, la parte è infinitesima (perché ad es., -1 = 1/ che è un infinitesimo, ma è strettamente maggiore di zero). Grazie a questa chiave di lettura, possiamo affermare che il risultato precedentemente ottenuto, cioè 0,52 + 0,5, è un numero che non ha parti finite (perché non ha numeri non moltiplicati per ), ma è composto da due parti infinite e non è un numero naturale, ma naturale esteso perché (0,52 + 0,5) > (**). Certo, direte voi, ma allora è un numero infinito! Sì, ma la novità è che esso è calcolabile. E non c’è bisogno di usare i limiti, né conoscere la complicata algebra dei limiti. Si fa in fretta e addirittura un computer può farlo al posto nostro.

Tuttavia abbiamo finora considerato una sequenza infinita di elementi, in cui ciascun elemento è un numero finito (1,2,3,4,...). Nello stesso modo possiamo calcolare la somma quando ogni elemento è un infinito oppure quando ogni elemento è un infinitesimo.

Supponiamo di avere nella nostra somma sempre addendi, dove ogni addendo è un numero infinito: il primo elemento invece di essere 1 sarà 1 (il secondo 2 e così via), mentre l’ultimo elemento, invece di essere , sarà 2 (cioè da 1, 2, 3, 4 si arriva a , vale a dire 2). Dunque abbiamo (/2) per ( + 2), vale a dire 0,53+ 0,52.

In modo analogo possiamo sommare i numeri infinitesimi. Se il numero totale degli elementi sarà sempre , ma il primo elemento sarà 1-1 (il secondo 2-1, il terzo 3-1 e così via), allora l’ultimo elemento sarà -1 cioè 1 (perché -1 = 0 = 1). Dunque abbiamo (/2) per (-1 + 1), vale a dire 0,51 + 0,5.

(*) Approfondimenti


(**) Per l’insieme dei numeri naturali estesi si veda la parte finale del seguente articolo:
.

VITA CON UN ASPIRANTE MATEMATICO

Su questo blog ospitiamo spesso articoli scritti da matematici, ma cosa pensano coloro che sono costretti a conviverci?
Luigina, moglie del nostro Walter Caputo, si "confessa" a Gravità Zero.
di Luigina Pugno

Era da diverso tempo che intendevo scrivere questo articolo, nato come sfogo per dare un’idea di come possa essere la vita accanto a un aspirante matematico.

Il matematico è Walter Caputo, a voi noto per gli articoli di divulgazione scientifica che scrive su Gravità zero, assiduo frequentatore del Carnevale della matematica o della fisica che sia.
E noi siamo quelli che in casa lo supportiamo: siamo Luigina (la moglie) e Rossano (il figlio di 20 mesi).

Premetto che non ho nulla contro la matematica, anzi mi è sempre piaciuta, tant’è che non perdo occasione per creare tabelle di calcolo e incrociare numeri e dati.

Ma come i Pitagorici andarono in crisi davanti ai numeri irrazionali, io mi sono irreversibilmente arenata davanti al calcolo letterale e da allora è stato il declino. Io che ero bravissima in matematica, venni rimandata a settembre in 3^ liceo e tuttora provo un forte fastidio solo a sentir nominare i logaritmi. Sono quindi contenta che almeno qualcuno in famiglia riesca ad andare a passeggio con questa materia: per me cammina purtroppo troppo in fretta.

Le premesse alla futura aspirazione di Walter per la matematica c’erano già, ma come sempre il loro significato si scopre poi a posteriori.

Lemma 1: il Touring Club Italiano mi aveva commissionato l’aggiornamento della Guida Verde dei Paesi Baltici e dovevo decidere quanti giorni trascorrere in Lituania per poter fare il lavoro. Io avevo fatto tutte le mie considerazioni su cosa vedere, il tempo che occorreva ed ero giunta alla mia conclusione, che stavo esponendo via telefono a Walter. Ad un certo punto gli sento dire: “logaritmo di enne alla….bla…bla…bla. I giorni necessari sono 9”. Ed io incredula: “si 9. Come hai fatto? Cosa, hai fatto?”. A ripensarci sono ancora incredula oggi.

Lemma 2: ha tentato la laurea specialistica in Statistica a Milano, perché l’avrebbe presa con solo 6 esami. Poi ha lasciato perché non riusciva a frequentare. Io avevo creduto che lo facesse perché avrebbe potuto prendere una laurea con 6 esami e invece….mi sbagliavo.

Lemma 3: da sposati oramai. Apre il corso di laurea triennale in Statistica a Torino, gli abbonano 100 crediti e lui si iscrive. L: “Walter ma perché vuoi prendere anche la laurea in Statistica?”. W: “Mi sono stufato dell’economia e voglio studiare la matematica, insomma mi sto annoiando”.


C’è da dire che le sue motivazioni allo studio sono sempre state forti, eccone alcuni esempi: si è iscritto a Ragioneria perché ci andava il suo amico Christian e poi non avrebbe dovuto prendere il pullman, perché era vicino; si è iscritto alla laurea breve in Amministrazione aziendale, udite bene, perché era breve e lui non aveva voglia di studiare (!); si è poi iscritto alla laurea in Economia e commercio a Brescia, perché non voleva né andare a lavorare, né andare a fare il militare; e poi si è preso la terza laurea in Statistica, perché si annoiava!

Da quel momento è stata un’escalation. Ha cominciato ad insegnare matematica, statistica ecc.
Un giorno l’ho trovato che guardava il sito della facoltà di Fisica. E io a lui: ”cosa stai facendo? Cambia subito sito!”.

Ma non servì a fermarlo. La matematica invase la sua vita e anche la mia.

Non si limitava a insegnarla, me la raccontava pure, ne parlava e ne parlava e ne parlava e poi ne parlava ancora e dopo due ore ti chiedeva: “E a te cos’è successo oggi?” ed io sfiancata e tramortita rispondevo: “Te lo dirò domani a colazione, se mi lascerai parlare”.

Un giorno a colazione non ce l’ho fatta più:



”Walter ti rendi conto che son due settimane che parli solo di matematica, tutto il giorno, fin dalla colazione?”.

E lui: “…..”. (Silenzio). Ah si finalmente silenzio. Perché voi non lo sapete, ma Walter non è solo un aspirante matematico, è anche logorroico. TI LOGORA. Lui dice che se dovesse mai finire in rianimazione, parlerebbe comunque, anche a costo di farfugliare.

Poi c’è stata una breve sosta, perché è finito nel turbine dell’astronomia. Corsi di astronomia e osservazioni astronomiche. Ecco appunto osservazioni astronomiche. Perché sarà anche vero che Walter è un uomo, ma la natura s’è dimenticata di dargli il senso dell’orientamento, dandolo invece a me. Quindi... potete immaginare…noi due di notte, nelle valli di Comacchio, con la carta del cielo in mano, la pila per poterla vedere, il puntatore laser per potergliele indicare e nuvole di zanzare che banchettano con le nostre carni!

Per non dire di quella volta in montagna, in una radura vicino al bosco. Sento dei rumori di passi provenire dagli alberi. Noi due immersi nel freddo e nelle tenebre e quei rumori sinistri di passi, che sembravano venire verso di noi. Walter mi prende in giro ancora adesso per come mi son messa a scappare verso casa. ”Ti sei c##@a in mano”. E io: ”ridi, ridi. Intanto tu correvi dietro a me!”.

Nostro figlio è stato l’unico neonato che non aveva ricamato sul bavaglino: il nome, o voglio bene a papà, o viva la mamma, ma Mi sfagiola l’astronomia. Vi rendete conto. Povero bebè.
Quando Rossano era appena nato lui lo ha preso tra le mani e gli ha detto: “giochiamo all’astronauta. Ora tu ti abbandoni sulle mie mani, come in assenza di gravità, e io ti faccio volare” e andava in giro per il reparto così. Poi un’infermiera lo ha sgridato.
Rossano al battesimo ha ricevuto un secondo nome, Arkady. Perché? Perché? Semplicemente perché mi piaceva. Arkady era il coprotagonista del libro La via dei canti di Bruce Chatwin. Walter ha acconsentito perché i grandi matematici sono russi.

Una volta in vacanza al mare voleva andare ad una lezione di astronomia con successiva osservazione del cielo in un posto chiamato Casa del diavolo. Non vi dico per trovarlo. Sperso nella campagna, immerso nel buio. La strada interrotta da un cantiere, manteneva un piccolo collegamento con l’altra strada, attraverso una passaggio sabbioso, lui che misurava se la Uno ce l’avrebbe fatta a passar senza sprofondare…Che flagello!

Alla fine, secondo lui, aveva imparato dell’astronomia quel che c’era da sapere e non vi trovava più stimolo. Che giubilo!
Invece prese la decisione di rispolverare un vecchio blog che aveva creato una sua studentessa di Paghe e contabilità, di impossessarsene (gliel’ha rubato) e di chiamarlo Blog di scienze naturali ed economiche e di darsi all’autogavetta scientifica, pubblicando un articolo a settimana.
Uno a settimana!
Così ora la casa è anche invasa di libri di scienze. Il suo studio ne è talmente pieno, pieno di carta, che io lo chiamo il rischio incendiario.

Un giorno gli dico: ”Walter compirai 40 anni. Per la crisi di mezza età cos’hai deciso di fare? Ti farai l’auto sportiva, la moto di grande cilindrata, o l’amante ventenne?”. E lui:” Mi dedicherò alla ...divulgazione scientifica!”.

Poi ha scovato il sito di Gravità zero. Ha cominciato a scriverci. Claudio lo ha tirato dentro il tunnel del Carnevale della matematica prima e della fisica dopo. E per Rossano e me non c’è più stato scampo.
Gli altri papà leggono le favole ai loro figli per farli addormentare, lui gli legge cosa da l’antimateria.
Lui prima denigra le riviste di pettegolezzi, poi si compra libri sulla vita dei fisici e dei matematici per ficcare il naso nelle loro vite.

Ad oggi ha approfondito troppo le sue conoscenze e quindi quando parla non capisco più bene cosa stia dicendo. Avevo trovato un semplice trucco per sopravvivere: lui parlava e io annuivo, alla fine mi chiedeva “hai capito?” e io dicevo di si e finiva lì. E lui un giorno che fa? Mi frega. Alla fine mi chiede:”tu cosa ne pensi?” e io mi gelo. Ma come cosa ne pensi? E ora come faccio? Devo ammettere di non aver ascoltato o di non aver capito. Mizzica e ora come ne esco? Eh come sempre, dico la verità, confesso:” ma che str…o, mi hai sempre chiesto se capivo e io me la cavavo con un si, e tu oggi mi chiedi cosa ne penso? Ora ti devo dire che non capisco più una mazza di quel che mi dici. Vabbè fammi un sunto che così ti rispondo”. Ma si fanno ‘ste cose? Si può rompere il quieto vivere faticosamente guadagnato da una moglie, sposata ad un aspirante matematico?

E poi è arrivata la mia fine.



Claudio annuncia il ritorno della rivista Newton. Walter la compra e legge un articolo sul nuovo approccio matematico di Sergeyev: il gross1.
Comincia a scriverne, lo incontra, lo intervista, si fa fare una foto con lui (si somigliano pure), ne scrive ad ogni carnevale, lo sente via Skype, lo loda, ne parla con gli occhi a forma di cuore, lo chiama il mio amico Yaro e poi qualche giorno fa entra in camera e comincia a camminare avanti e indietro.

A un tratto mi dice:“Ho il sangue alla testa”
E io: “che cos’è successo?”.
"Ho ricevuto due commenti al mio ultimo articolo sul mio amico Yaro. Michele F. dice che la teoria cozza con un sacco di cose. Ma cosa cozza! Non è possibile?! F. …lui che voleva il mio poster…il mio fan, mi ha tradito…ho il sangue che mi esce dalla testa…non sembra nemmeno che l’abbia scritto lui, lui argomenta i suoi commenti. Certo l’avrà scritto un altro usando il suo ID.
”Eh, certo, come no?” - rispondo io
”E quell’altro? bla…bla...bla. Ma ora non posso rispondergli così, devo mantenere un distacco nobile (un distacco nobile?!)”.
"Insomma" - gli rispondo - "la smetti di agitarti per la stanza come una mosca nel bicchiere, io stavo per fare il pisolino. Ora cominci a rispondere loro, e pian piano ti calmi”. +
Non si può più manco pisolare in santa pace.

Ha accompagnato questi anni un’altra situazione che è andata via, via crescendo…gli attacchi di autoglorificazione. Come si manifesta questo disturbo? Essenzialmente con la ricerca in internet di chi parla di te e cosa dice; con il desiderio di sapere cosa esce se metti su Google il tuo nome e cognome, e di vedere come si classifica il tuo blog nei motori di ricerca. Ovviamente i sintomi si devono manifestare con una certa fastidiosa frequenza. Il fastidio lo prova la moglie, che viene sempre aggiornata sui dati ricavati dall’analisi.

Però non pensiate che io sia contro la matematica o che la eviti.
Qualche giorno fa mentre facevamo la Torino – Lido di Spina per andare a trovare nostro figlio ci siamo dedicati ai quesiti dei Rudi matematici, pubblicati su Le scienze, così per passare il tempo.
Erano quesiti di statistica, per cui gli ho detto: “facciamo così, tu applichi le formule che hai studiato e io uso il ragionamento e il buon senso”. Siamo arrivati alle stesse risposte, ma io c’ho messo meno :-). Abbiamo scritto le risposte ai Rudi e ora attendiamo la pubblicazione dei risultati. Chissa?

Tempo fa gli chiesi:” Walter, ma tu che matematico sei? Algebrista, o cosa?”.
E lui: ”io mi sento un Analista”.
”Già" - rispondo sorridendo "Sei un analista come me!"
Ecco vedi, tante storie e poi siamo uguali. Alla fine mi sa che è vero che chi si somiglia si piglia, che le pentole trovano sempre il loro coperchio e noi abbiam fatto strade diverse per arrivare ad essere la stessa cosa: due analisti.


CHI E' LUIGINA PUGNO
Dal 2000 al 2003 ha collaborato con Touring Club Italiano, DeAgostini e Giunti nell'aggiornamento delle guide turistiche cartacee e nella stesura di nuove guide (sue sono le Langhe, Monferrato, Roero edizioni Giunti). Successivamente ha intrapreso l'attività privata come Psicoterapeuta e Sessuologa clinica. Contemporanemante collabora come psicoterapeuta presso il CSM di Avigliana e per l'Associazione E.C.O: collabora nel collocamento lavorativo delle persone con invalidità, fornendo consulenza alle aziende e occupandosi della selezione del personale.

Con Gravità Zero, nel novembre scorso, ha organizzato la conferenza: "Le risposte della Scienza alle domande dell'Astronomia"


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sabato 26 giugno 2010

FATE IL NOSTRO GIOCO: A TORINO LA MATEMATICA DEL GIOCO D'AZZARDO



Dopo mesi di preparazione, Officine Scienza ci comunicano che la mostra "Fate il Nostro gioco" approda a Torino, dal 2 al 6 luglio!

Si tratta di una mostra sulla matematica del gioco d'azzardo, prodotta dalla loro Associazione e ospitata all'interno di ESOF2010, il più grande evento europeo di divulgazione scientifica, per la prima volta in Italia.

Se avete in mente una mostra fatta di pannelli pieni di scritte, esposizioni da guardare ma non toccare o presentata da noiose guide che farebbero meglio a darsi all'ippica che alla divulgazione scientifica... siete fuori strada!

In questa mostra si discute, si scommette con vere fiches su tavoli da roulette, black-jack e poker per capire la matematica che si cela dietro i giochi d'azzardo ed imparare dove si nascondono le fregature. In questa mostra si scherza molto ma si ragiona anche sul gioco patologico, una nuova malattia (riconosciuta come tale dal Ministero della Sanità) che crediamo possa essere contrastata con una buona prevenzione matematica!

Le informazioni, in sintesi:

Circolo dei Lettori, via Bogino 9 - Torino
2-6 luglio: h17-23
3 luglio : h10-23
Ingresso gratuito


venerdì 25 giugno 2010

MISURARE L’INFINITO


La differenza fra un fisico e il classico uomo della strada sta soprattutto negli strumenti posseduti per descrivere il mondo. Immaginiamo la caduta di un corpo: per descrivere questo evento, l’uomo della strada dirà che il corpo, prima fermo, ha cominciato a cadere sempre più in fretta. L’idea del processo risulta, con questo linguaggio, piuttosto vaga e approssimata.
Il fisico dirà invece che il corpo parte da uno stato di riposo e cade con accelerazione costante di 9,8 m/sec al quadrato: in questo modo è possibile determinare la velocità del corpo e la sua posizione in ogni istante. Ne risulta quindi un quadro completo, preciso e conciso. Ma ciò richiede un linguaggio matematico che, con una scrittura simbolica breve (formula), consenta di descrivere una legge fisica, vale a dire una relazione fra grandezze fisiche che definiscono il fenomeno in esame.

Assistiamo da tempo ad una trasformazione della fisica, man mano che vengono effettuate nuove scoperte oppure si utilizzano nuovi strumenti di osservazione per analizzare gli stessi oggetti. Siamo quindi abituati a considerare che la scienza non è un dogma, in quanto una legge fisica vale perché è coerente con le osservazioni sperimentali, ma è possibile che una nuova legge sia ancora più coerente, ed essa sostituirà necessariamente quella precedente. In maniera analoga non ci sorprendiamo se uno strumento di osservazione più potente ci consente di cambiare la nostra visione su un determinato oggetto: ad esempio, “da lontano” avevamo sempre considerato gli asteroidi come semplici sassi, ma ora “guardando con telescopi più potenti” abbiamo scoperto che sugli asteroidi può essere presente ghiaccio e addirittura composti organici.
Eppure, quando si tratta di matematica, che è il naturale linguaggio della fisica, sembra che sia una scienza necessariamente immutabile, perché, si pensa, 2+2=4 oggi, così come era 2000 anni fa, così come sarà nei prossimi 2000 o 10000 anni. In realtà, per i Piraha, una tribù primitiva che vive in Amazzonia, 2+2=molti. E ciò non è sbagliato, è solo impreciso, in quanto per i Piraha tutte le quantità più grandi di 2 sono "molti". Essi non hanno "inventato" i numeri successivi al 2, né un sistema numerale per esprimerli. Così, per loro, 2+1=molti e molti+1=molti: tale imprecisione assomiglia molto al nostro tradizionale risultato infinito+1=infinito. Inoltre anche gli strumenti matematici vanno rinnovati, altrimenti le nostre conoscenze non possono progredire e si avrà necessariamente uno “scollamento” fra la fisica, che si evolve senza sosta e il suo linguaggio che resta fermo e cristallizzato.

Il Prof. Yaroslav Sergeyev (*) ha fatto proprio questo: adeguare il linguaggio dell’Analisi Matematica alla fisica di oggi. E per farlo, è partito dall’elaborazione di tre postulati e ha costruito un nuovo edificio matematico, che rappresenta un’evoluzione dell’Analisi tradizionale.

Secondo Sergeyev esistono oggetti infiniti e infinitesimi, ma gli esseri umani (ed anche le macchine) sono in grado di eseguire soltanto un numero finito di operazioni: questo è il suo primo postulato. A prima vista sembra un’affermazione ovvia: tutti ci rendiamo conto che la nostra vita è finita, nel senso che abbiamo una data di scadenza, così come qualunque oggetto ha la proprietà di non durare in eterno. Eppure, in generale, quando i matematici trattano oggetti o insiemi infiniti ipotizzano che gli esseri umani siano in grado di eseguire determinate operazioni un numero infinito di volte. Purtroppo non è così, e il Prof. Sergeyev, in “Numerical point of view on Calculus for functions assuming finite, infinite, and infinitesimal values over finite, infinite, and infinitesimal domains”, scrive che, a causa delle nostre limitate capacità, “accettiamo a priori che non siamo in grado di fornire una descrizione completa di insiemi e processi infiniti”.

Inoltre, come per le altre scienze, anche per la matematica lo strumento utilizzato assume un’importanza di rilievo, in quanto influenza i risultati delle osservazioni. Fra gli strumenti utilizzati dai matematici troviamo i sistemi numerali: diventa dunque opportuno rinnovarli al fine di ottenere risultati migliori, con la consapevolezza però che, a causa della nostra finitezza (si veda il postulato n. 1) non raggiungeremo mai l’ottimo. Di conseguenza, ecco il secondo postulato: non diremo che cosa sono gli oggetti matematici che trattiamo; ci limitiamo a costruire strumenti più potenti che migliorino le nostre capacità di osservare e descrivere le proprietà degli oggetti matematici. Con ciò si intende mettere in rilievo tre elementi molto importanti nell’evoluzione dell’Analisi Matematica elaborata da Sergeyev: il ricercatore; l’oggetto di indagine; lo strumento di osservazione utilizzato. Si tratta, evidentemente, dell’approccio tipico della Fisica.

Il terzo postulato, ovvero che la parte è inferiore all’intero, è ragionevole: il vostro braccio (che fa parte del vostro corpo) è inferiore al vostro corpo intero; un cioccolatino è inferiore ai cioccolatini riposti nella scatola da cui è stato estratto; un esame universitario superato è inferiore alla lista completa degli esami da superare…..
Sergeyev, nell’articolo sopra citato, specifica che il principio della parte inferiore all’intero non si applica solo ai numeri finiti, ma anche agli infiniti e agli infinitesimi. Inoltre si applica a tutti gli insiemi e processi, sia finiti che infiniti. Ciò implica che un cioccolatino estratto da un scatola di 100 è inferiore ai 100 cioccolatini della scatola, il che è ovvio. Meno ovvio è prendere una manciata di cioccolatini da una scatola che ne contiene un numero infinito e chiedersi se la manciata estratta sia inferiore rispetto a tutti quelli contenuti nella scatola. Secondo il buon senso (ed anche secondo il terzo postulato) la risposta è sì: quanti cioccolatini stanno in una mano e quanto è grande il numero di quelli contenuti nella scatola? Sia la manciata che il resto della scatola sono inferiori all'intero, dunque è evidente che la manciata sarà inferiore alla scatola intera. Eppure secondo l’Analisi tradizionale le cose non stanno così: infinito (cioé l'intero) meno 1 fa infinito, come anche infinito meno 100 o meno 1000 fa ancora infinito. Ciò implica che, dopo aver tolto una manciata di 1, 10, 100 o 1000 (o qualunque valore finito) cioccolatini dalla scatola contenente un numero infinito di cioccolatini, quello che rimane nella scatola non è inferiore all’intero. Ne consegue che, secondo l'Analisi tradizionale, la parte è uguale all'intero. Ciò deve necessariamente indurci a pensare che questo metodo (dell’Analisi tradizionale) sia troppo approssimativo, troppo poco preciso e parecchio lontano dal buon senso, perchè non riesce a registrare l'operazione di sottrazione di qualsiasi numero finito dall'intero, operazione che è facilmente osservabile.

Sulla base dei tre postulati sopra descritti, il Prof. Sergeyev ha elaborato un nuovo sistema numerale, che consente di eseguire calcoli non solo con quantità finite, ma anche con infiniti e infinitesimi. Naturalmente, per trattare infiniti e infinitesimi, occorre essere in grado di misurarli, ed infatti è stata introdotta una nuova unità di misura, che non è altro che il numero degli elementi dell’insieme dei numeri naturali. Fino ad oggi abbiamo sempre considerato l’insieme N dei numeri naturali, cioè degli interi, un insieme del tipo (0,1,2,3,4,5,…….,n,…..) e non sapevamo quanti elementi contenesse. Ora sappiamo che l’ultimo numero naturale, vale a dire il più grande di tutti, si chiama “grossone”, e quindi l’insieme N contiene un numero di elementi pari al grossone. Il grossone è un numero, e come tale viene trattato, nel senso che – ai fini del calcolo – non differisce dagli altri. Ciò significa soprattutto che non è necessario imparare operazioni di calcolo particolari, complesse e controintuitive, come quelle che caratterizzano gli infiniti dell’Analisi Matematica tradizionale (ad esempio il fatto che infinito meno 1000 faccia infinito e che infinito meno infinito faccia una quantità indeterminata ed altre simili proprietà).

Grazie al grossone, che rappresenta una nuova unità di misura, possiamo riprendere l’esempio della scatola di cioccolatini ed ottenere dei risultati coerenti con il comune buon senso. Infatti, se la scatola contiene un numero di cioccolatini pari a grossone, allora la quantità grossone meno 1 (cioè una manciata molto grande) è inferiore al grossone, vale a dire che una manciata è minore rispetto all’intero. Lo stesso vale per grossone meno 2 e grossone meno 3 e via dicendo. Addirittura possiamo affermare che mezza scatola conterrà un numero di cioccolatini pari a grossone fratto 2 e che , se consideriamo mezza scatola e aggiungiamo 1 cioccolatino, ne avremo in tutto (grossone fratto 2) + 1, così come, se dalla mezza ne togliamo uno, ne resteranno (grossone fratto 2) meno 1.

Abbiamo detto che il grossone è l’ultimo dei numeri naturali, quindi appartiene all’insieme dei numeri naturali. Ma dopo il grossone non c’è più nulla? Purtroppo il linguaggio matematico, come qualsiasi altro linguaggio, è necessariamente limitato: ciò significa che se decidiamo di definire un oggetto in un certo modo, stiamo limitando le nostre possibilità di esprimere le caratteristiche dell’oggetto. Così, a causa di tali limiti, ben espressi dai postulati n. 1 e 2, “per qualunque sistema numerale A fissato, ci saranno sempre degli insiemi che non possono essere descritti usando A” (si veda l’articolo sopra citato). Di conseguenza, se consideriamo quello che Sergeyev definisce come l’insieme dei numeri naturali estesi, in tale insieme dopo il grossone ci sarà grossone + 1 e poi grossone + 2 e poi ancora grossone + 3 e via di seguito. Il sistema numerale basato sul grossone non è in grado di esprimere la quantità di elementi dell’insieme esteso dei numeri naturali. Questo fatto è coerente con il postulato n. 1, perché, come prima abbiamo ricordato, qualunque nuovo sistema numerale si fissi, ci saranno comunque numeri non esprimibili in questo sistema numerale.

(*) Approfondimenti:

lunedì 14 giugno 2010

IL CARNEVALE DELLA MATEMATICA SU SCIENCE BACKSTAGE


Oggi è il 14 giugno, e come ogni 14 del mese siamo giunti all'usuale appuntamento con il Carnevale della Matematica, giunto alla sua ventiseiesima edizione.

Se qualcuno si chiedesse perché proprio il 14, diremmo che sono le prime due cifre decimali del Pi Greco (3,1412...)

Questa edizione è magistralmente ospitata da Gianluigi Filippelli sul blog Science Backstage, dato che, come sapete ormai, il carnevale è un modo per i blogger scientifici di darsi appuntamento una volta al mese a turno su un blog diverso.

Ognuno scrive uno o più articoli in cui la matematica centri qualcosa, e tutti mandano il link dell'articolo allo "sventurato" che passerà ore insonni a raccogliere tutti i contributi e pubblicarli con un nesso logico...

E poi il risultato è questa meraviglia.

Ma mica siamo solo noi i "matti" (anzi matematti) a comportarci così. I Carnival hanno una lunga tradizione nei paesi di lingua anglosassone. E così, ad esempio, il nostro omologo ha computo 66 mensilità e questo mese è ospitato su Wild About Math,


E' alla 26ima puntata invece Math Teachers at Play, versione semplificata adatta per gli studenti più giovani.
E in Spagna? Hanno appena cominciato e sono alla quinta edizione (qui il loro sito descrittivo).


Il nostro prossimo carnevale della matematica edizione #27 sarà ospitato da Maurizio Codogno, che poi è anche il fondatore dell'edizione italiana.

A fine mese, invece, ci sarà il Carnevale della Fisica edizione n.8, questa volta ospitato da Arte e salute. Per partecipare (tema: arte e scienza, non obbligatorio, però), dovrete inviare i link, sempre con un paio di righe di descrizione, al seguente indirizzo:emanuelazerbinatti [chiocciola] blogosfere [dot] it.

E per dimostrare che non solo da noi impazza la "matemattica", guardate di cosa sono capaci quelli "The Math Midway", inaugurata lo scorso novembre a New York: si tratta di una mostra matematica interattiva itinerante in pieno stile carnevale!


venerdì 11 giugno 2010

LA MATEMAGICA DEI COMPLEANNI E LA LETTURA DEL PENSIERO


Dopo "quel piccolo grande genio di Eratostene" e "LHC, la macchina strabiliante spiegata ai ragazzi" continua la pubblicazione mensile di articoli su giochi matematici ed esperimenti scientifici rivolti ai più giovani, che appaiono ogni mese sulla rivista MondoErre.

Una delle cose che trovo più piacevoli è proprio curare questa rubrichetta, che viene letta da giovanissimi di 11-14 anni. Lo scopo è incuriosire e mostrare che con la matematica e le scienze ci si può divertire e fare divertire gli amici.

Un altro vantaggio di lavorare per MondoErre è che puoi contare su una professionista di eccezione, una disegnatrice veramente bravissima: Luisa Gaia, che riesce a dare magicamente forma e colore ai tuoi pensieri e ai tuoi numeri....



Qui gli articoli sono due: nel primo si affrontano le leggi della probabilità con un facile gioco da fare in una classe con almeno 24 alunni. Domanda: quanti dei tuoi amici presenti in aula hanno la stessa data di nascita, cioé sono nati lo stesso giorno e mese dell’anno?

La risposta che solitamente le persone danno a questa domanda è: un numero molto basso o nessuno. Questo considerando che ci sono 365 giorni in un anno e che 24 giorni su 365 fanno più di 300 giorni di differenza.

Eppure la probabilità che due compleanni tra 24 individui scelti a caso cadano lo stesso giorno è superiore al 50%, cioè un caso su due. Per la precisione 27/50. Addirittura se le persone nella stanza fossero 30, le probabilità che due date coincidano arriverebbero al 70%, fino a raggiungere la quasi certezza con 60 persone appena! Ovviamente la certezza assoluta la possiamo avere solo con 366 persone: 366 e non 365 perché c’è anche il 29 febbraio, che cade negli anni bisestili ogni 4 anni.

Nel secondo gioco matematico proviamo a "leggere nel pensiero". Le regole sono semplici e basta conoscere la tabellina del 9. Prima di iniziare, ricorda all’amico che tutte le operazioni che gli dirai di fare dovrà eseguirle solo mentalmente. Chiedigli di pensare un numero tra 1 e 10 e di moltiplicarlo per 9. Se il numero ottenuto è di due cifre invitalo a sommarle tra loro. Ad esempio, se il numero è 45, lui dovrà sommare 4+5=9. Ora chiedigli di sottrarre 4 dal numero ottenuto (es. 9-4=5). Fagli quindi assegnare a ogni numero una lettera dell’alfabeto nell’ordine: 1=A; 2=B; 3=C; 4=D; e così via. Per finire, digli di pensare intensamente a un animale che cominci con la lettera corrispondente al numero ottenuto. Concentrati, giusto per creare un po’ di suspense, e annunciagli che l’animale pensato è ... l’elefante!


domenica 6 giugno 2010

PERCHE’ SI AMA O SI ODIA LA MATEMATICA?

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Il 26 dicembre 2009 alle 13:07 ho iniziato un forum di discussione sulla pagina facebook della Mucca di Schrodinger (www.facebook.com/lamucca) sul tema dell’amore e dell’odio per la matematica.

Sono passati più di cinque mesi da quel giorno e i contributi sono giunti alla ragguardevole cifra di 58. Sono intervenuti in tanti, e – fra i commentatori – risultano divulgatori scientifici, responsabili di settore di case editrici, fisici, matematici, psicoterapeuti, ricercatori, chimici, blogger e docenti di matematica. Insomma si è accumulato un po’ di materiale decisamente interessante e vale la pena scrivere una sorta di resoconto, per tirare le fila e scoprire se è venuto fuori qualcosa di utile per insegnanti, studenti, editori e per tutti coloro che ritengono di non avere alcuna attitudine per la matematica.

Il mio incipit per far partire la discussione è stato il seguente: “Carissimi frequentatori della MUCCA, vi propongo un nuovo argomento di discussione: vi piace la matematica? Se sì, perché? La odiate? Perché la odiate? E' colpa dei professori o è colpa della matematica o è una questione di attitudini o semplicemente non vi interessa....
Se la amate, da quando avete iniziato ad amarla? E' per un libro che avete letto o è perché avete cominciato a capirla? O magari avete intravisto la sua intrinseca bellezza? O piuttosto è perché dentro la matematica ci si sente al sicuro, come in un posto in cui le regole funzionano e alla fine i conti tornano sempre.....
Partecipate a questa discussione dicendo la vostra !!!”

Innanzitutto emerge dai contributi che diventa più facile proseguire negli studi di matematica se si ottengono gratificazioni e che, una volta conclusi gli studi, si acquista sicurezza. D’altronde conoscere la matematica ad alti livelli è come avere “per le mani strumenti davvero potenti, pistole di grosso calibro, e a volte le sai anche smontare e rimontare” (Editoriale Scienza). E come non sentirsi sicuri se si è armati fino ai denti? Tuttavia, conoscere la matematica costa fatica e non c’è altra via che studiarla “per godersela davvero” (Editoriale Scienza), non basta leggere biografie di matematici. Ma le gratificazioni non mancano, insomma, alla fine della corsa c’è (sempre) il traguardo e il premio: infatti, come ben evidenzia Peppe Liberti, “se le difficoltà non ti spaventano e decidi di conoscere la matematica non potrai che amarla perché un aiuto non te lo negherà mai ....”.

Altro aspetto caratterizzante della matematica è che non perdona, infatti essa “esige attenzione, concentrazione totale, e la comprensione di OGNI passaggio e dettaglio. Visto che ogni passo dipende fortemente dai precedenti, se non capisci anche un solo passo ti blocchi molto presto. Perdi il ritmo e non sei più in grado di proseguire. Altre scienze permettono una maggiore flessibilità di apprendimento” (Paolo Amoroso). Effettivamente, la concatenazione della matematica è quasi feroce. D'altronde è risaputo: la matematica è come il maiale, non si butta via niente (neanche le congetture, finché non vengono dimostrate false). Semplicemente si stratifica, e strato dopo strato sono trascorsi oltre 2000 anni di matematica....

Per Luigina Pugno i numeri “sono come un gioco, una sfida a volte, insomma mi divertono. Forse mi colloco in una via di mezzo tra coloro che dicono di non capirci nulla e coloro che conoscono a quali possibilità possa portare. Secondo me l'allontanamento dalla matematica comincia e continua man mano che essa si allontana dall'uso che una persona può farne tutti i giorni. Non è che nel quotidiano io debba calcolare logaritmi o derivate, vivo lo stesso, e arrivo a fine giornata anche bene. Però uso percentuali e trasformazioni che mi servono, che posso fare anche a mente e che vi garantisco che anche gente laureata a volte non è in grado di usare”. Insomma, quando la matematica è collegata al quotidiano diventa più facile e più utile. Quando invece si allontana dal quotidiano, richiede notevoli capacità di astrazione ed alcuni possono esserne sprovvisti.

E’ un po’ quello che succede agli studenti delle scuole superiori: trovano più facile matematica finanziaria rispetto ad analisi matematica, perché la prima è applicata al denaro, ai prestiti, ai tassi, alle rate e ai titoli, mentre la seconda è decisamente astratta. E’ anche vero, come dice Peppe Liberti, che “quello che è arido è il modo di insegnare la matematica” e – secondo Jacopo – “contrariamente a quello che dice Luigina logaritmi e derivate (ma anche integrali, vettori, matrici, ecc) sarebbero utili nella vita di tutti i giorni se solo si insegnasse come usarli. Invece si fa imparare a pappagallo la formuletta per calcolare la derivata del prodotto di due funzioni e non si racconta mai a cosa serve”. Giustamente, occorre insegnare stimolando, occorre trasmettere concetti ma anche idee, senza mai tralasciare il lato umano della matematica, senza dimenticare l’esperimento e l’applicazione. Ad esempio, è possibile spiegare l'utilizzo delle derivate a partire dal mondo reale: in fisica (velocità istantanea), in biologia (approssimazione della variazione di una popolazione di batteri) e in economia (calcolo e significato delle quantità marginali di costo e ricavo).
D’altronde, occorre rilevare che – come dice Francesco – “senza matematica niente aeroplani, uomo sulla Luna, risonanza magnetica, computer, protocolli internet, banca on-line, laser, lettori cd, previsioni meteo, etc.”, ma in realtà “per chi la matematica la fa e la ama, la vera risposta è: la matematica serve a darti un brivido nella schiena, esattamente come la letteratura o la musica. Ma è ovvio che questo non può essere spiegato. Un’emozione o la si prova o non la si prova, e nel secondo caso è inutile sforzarsi”.

Nicola, che è matematico di professione, richiama l’attenzione dei lettori del forum su un aspetto molto importante: esattamente ciò che rende la matematica amabile o odiabile. Finora si è parlato di gratificazione, ma Nicola punta il dito sulla frustrazione che dà la matematica. “So cosa vuol dire passare una giornata su di un rigo di matematica e non capire cosa vuol dire. So cosa vuol dire convincersi di aver capito e poi scoprire di aver sbagliato tutto. So cosa vuol dire vedere al proprio fianco una persona che capisce le cose al triplo della tua velocità. Queste esperienze le ho avute da adulto, quando la matematica era già una professione, perché prima io ero quello veloce e gratificato, quello che capiva ed era gratificato, quello che anche quando non aveva capito fino in fondo aveva comunque una buona visione delle cose.
Poi è arrivata la ricerca. Ho visto miei colleghi tirare libri contro il muro, infuriarsi l'uno contro l'altro, cadere in depressione. Quasi sempre la molla era la frustrazione da insuccesso. Ora, se uno queste cose le prova a 7 anni, invece che a 35, altro che amarla...”

Forse la giusta conclusione a questo articolo è un’affermazione di Peppe Liberti: “per amare la musica non è necessario saper leggere uno spartito, per amare la matematica bisogna conoscerla. E quindi, dopo che l’avrete studiata, provate a riformulare la domanda fatidica di Walter ed avrete la risposta!”.

sabato 5 giugno 2010

I PADRI DELL'OLOGRAFIA E DELLE CATASTROFI

Foto: Google commemora il "padre" dell'olografia

Il 5 giugno di 110 anni fa nacque Dennis Gabor un fisico ungherese naturalizzato britannico.

Noto per l'invenzione dell'olografia fu premiato per questo con il Nobel nel 1971.

Iniziò gli studi a Budapest per poi trasferirsi in Germania dove si laureò in ingegneria a Berlino nel 1927.

Conclusi gli studi intraprese l'attività nel settore ricerche del gruppo industriale Siemens fino al 1933 quando, dopo l'avvento al potere di Adolf Hitler, essendo di famiglia di origini ebraiche, si trasferì in Gran Bretagna.

Nel dopoguerra si dedicò all'insegnamento presso l'Imperial College London.

Nel campo dell'elaborazione numerica dei segnali (o DSP, digital signal processing) sviluppò, come risultato dei suoi studi sul comportamento e l'udito, la teoria della sintesi granulare per la creazione di texture di suono.


Apprendiamo solo oggi invece della morte del grande matematico russo Vladimir Igorevič Arnol'd, uno dei giganti della matematica del XX secolo. E' successo giovedì nell'ospedale Saint-Antoine di Parigi. Avrebbe compiuto 73 anni il prossimo 12 giugno.

Arnold si trovava in Francia da due mesi in missione per conto dell'Istituto Steklov di Mosca dell'Accademia russa delle Scienze, di cui era professore emerito.

La sua bravura si manifesto molto presto: con la soluzione (a soli 20 anni) del tredicesimo problema di Hilbert nel 1957 sulle funzioni a più variabili

Studioso pluripremiato (ha ricevuto tra l'altro il Premio Crafoord nel 1982 e il Premio Wolf nel 2001), Arnold fu insignito nel 1974 della Medaglia Fields, il più prestigioso riconoscimento per i lavori di matematica spesso accostato al Nobel, ma non poté ritirarla per l'opposizione del governo dell'Unione Sovietica.


Ricordano la sua vita Marco Frasca e il blog Gli studenti di oggi
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martedì 25 maggio 2010

L’ILLUSIONE DELLA CONTINUITA’

Quando si insegna matematica o statistica, prima o poi si giunge a dover necessariamente definire il concetto di continuità. Perché esso sia facilmente assimilabile dagli studenti, in genere si cerca una qualche metafora adatta, che possa restare impressa in mente, e che sia richiamabile dallo studente ogni volta che legge sul libro di testo che una certa funzione o un certo oggetto è continuo.

Come tanti altri insegnanti di matematica, anch’io ho affermato che una funzione è continua quando, per disegnarla, “non si stacca la matita dal foglio”. Ciò in quanto, tramite il disegno, si “occupa” tutto l’insieme dei numeri reali, che è rappresentato dall’asse x del piano cartesiano, e non si lascia nessun “buco”. Se invece, per tracciare una funzione, dovessi necessariamente staccare la matita dal foglio e riprendere il disegno in un punto successivo, ciò implicherebbe che la funzione non è continua.

Anche in statistica, quando si parla di variabili casuali, cioè di oggetti (in senso matematico) che possono assumere differenti esiti, e a ciascun esito è associata una probabilità, occorre specificare cosa si intende per variabili casuali continue e discrete. In genere dico che, se la variabile casuale ha come oggetto il numero di figli per famiglia, questo numero può essere 1 oppure 2 o 3, ma non certo 1,5 o 1,7, di conseguenza, la rappresentazione della variabile casuale “numero di figli per famiglia” mostrerà buchi dell’asse reale corrispondenti a tutti i numeri compresi tra 1 e 2 ed anche tra 2 e 3 e via di seguito. In maniera analoga, la variabile casuale “lancio di un dado” ha 6 differenti esiti (corrispondenti alle sei possibili facce), e ad ogni esito è associata la probabilità di 1/6: dato che non è possibile che esca la faccia 1,3, la variabile in questione è discreta. Se invece dovessimo costruire una variabile casuale i cui esiti sono i possibili chilometri all’ora percorsi da un’automobile, diremmo certamente che essa è continua, perché effettivamente la lancetta del contachilometri varia nel continuo, potendo essere la velocità, ad esempio, anche 50,4356789 chilometri all’ora.

Raccontato in questi termini, il concetto di continuità appare assoluto. Un oggetto è continuo, oppure non lo è: la continuità non dipende da nulla. Ma le cose stanno davvero così? Ho avuto recentemente modo di conoscere il Prof. Yaroslav Sergeyev ed ho iniziato a studiare il suo nuovo approccio alla matematica, basato essenzialmente sulla fisica. Ho già trattato gli aspetti generali in “La fisica dell’infinito”, il calcolo dei limiti in “A cosa serve l’infinito?” e la probabile modifica dei programmi di analisi matematica in “Matematica, infinito e programmi scolastici”. Mi sto occupando di questo nuovo approccio soprattutto perché non capita tante volte nella vita di poter studiare e cominciare a capire una matematica nuova, quando chi la sta elaborando è in vita ed è possibile interagire con lui, in modo tale da poter poi trasmettere agli studenti finalmente qualcosa di nuovo, utile e semplice.

Nell’articolo “Numerical point of view on Calculus for functions assuming finite, infinite and infinitesimal values over finite, infinite and infinitesimal domains”, il Prof. Sergeyev sviluppa un nuovo concetto di continuità, a partire dall’idea di continuità tipica della Fisica. Scrive che “se osserviamo un tavolo tramite i nostri occhi, lo vediamo continuo. Se usiamo un microscopio per la nostra osservazione, vediamo il tavolo discreto”, ovvero composto di tante particelle separate fra di loro. Dunque noi decidiamo come vedere l’oggetto e, a seconda dello strumento utilizzato, l’oggetto può essere continuo o discreto. I nostri occhi sono troppo deboli per consentirci di vedere, ad esempio, le molecole. Ciò implica che in fisica la continuità è relativa, in quanto dipende, innanzitutto, dallo strumento di osservazione utilizzato.

E allora perché in matematica dobbiamo considerare un concetto assoluto di continuità? Perché una funzione può essere solo discreta oppure solo continua? Come mi ha detto il Prof. Sergeyev, in un colloquio del 16 aprile a Torino, “la continuità (in senso assoluto) è un’illusione”. Ha poi aggiunto che “in seguito alla rivoluzione della Fisica Quantistica, non possiamo più considerare l’oggetto in assoluto, ma dobbiamo prendere in esame l’oggetto in rapporto allo strumento. Ciò in quanto l’osservatore modifica l’osservazione, poiché egli interagisce con lo strumento”.

Il fine della nuova matematica del Prof. Sergeyev e la base su cui si fonda il suo nuovo concetto di continuità è il postulato numero 2: “Non diremo cosa sono gli oggetti matematici che trattiamo, noi costruiremo solo strumenti più potenti che ci permetteranno di migliorare le nostre capacità di osservare e descrivere le proprietà degli oggetti matematici”. Cercherò ora di descrivere, nel modo più semplice possibile, la “Sergeyev's continuity”.

Prendiamo un intervallo compreso tra “a” e “b” e scegliamo il nostro strumento per osservare i punti nell'intervallo - un sistema numerale che ci permetterà di scrivere certi (ben definiti) numerali che possiamo usare per esprimere le coordinate dei punti nell'intervallo. Quindi, per noi l'intervallo consisterà solo di questi punti osservabili perché il nostro sistema numerale (il nostro microscopio) non ci permette di vedere nient'altro. Tra i punti osservabili consideriamo un punto “x”. Allora tra i punti osservabili con il nostro microscopio ci sono “x(+)“ il più piccolo punto, compreso nell’intervallo, superiore a x e “x(-)“ il punto più grande, compreso nell’intervallo, inferiore a x. Scegliendo una determinata unità di misura, possiamo affermare che l’intervallo, che definiamo insieme X, è continuo rispetto all’unità di misura scelta se, per ciascun punto appartenente all’intervallo (esclusi gli estremi) le differenze “x(+) - x” e “x – x(-)“ corrispondono a numeri infinitesimi. Nel sistema numerico del Prof. Sergeyev, che contiene il “gross one”, cioè il più grande fra i numeri naturali, un infinitesimo non è nient’altro che 1 fratto gross one, cioè gross one elevato a meno 1. Di conseguenza se le differenze prima citate sono potenze negative di gross one, l’insieme X è continuo. Grazie a questo sistema numerico, diventa anche possibile considerare differenti ordini di continuità, valutando diverse potenze negative di gross one, poiché gross one alla meno 1 è diverso da gross one alla meno 2 e via di seguito.

Questo nuovo concetto matematico di continuità è coerente con quello fisico, che varia rispetto allo strumento di osservazione usato. Nel caso matematico, lo strumento è rappresentato dal sistema numerale scelto per esprimere le coordinate dei punti e dall’unità di misura. Il Prof. Sergeyev, nell’articolo prima citato, spiega anche con esempio, come sia possibile che lo stesso insieme X sia prima continuo, in base ad una certa unità di misura, e poi diventi non continuo appena si cambia in modo opportuno l’unità di misura. In particolare, se prendiamo un intervallo costituito da 5 punti equidistanti e diciamo che, in base all’unità di misura “u” la distanza, fra ogni punto e quello successivo, è pari a gross one alla meno 1 (cioè infinitesima), possiamo affermare, in base alla precedente definizione della “Sergeyev continuity”, che l’insieme X è continuo.
Ma se cambiamo unità di misura e ne scegliamo una, definita “v”, che è pari alla precedente (u) moltiplicata per gross one alla terza, allora lo stesso insieme X diventa non continuo. Infatti, la distanza fra ciascun punto e quello successivo, sarà pari a gross one alla meno 1 per gross one alla terza, cioè a gross one alla seconda (quando le basi sono uguali, in questo caso le basi sono entrambi gross one, gli esponenti si sommano: - 1 + 3 = 2), vale a dire una distanza infinita, non infinitesima.

Spero di aver spiegato la “Sergeyev's continuity” in maniera abbastanza comprensibile, poiché intendo ribadire che si tratta di un concetto di continuità più semplice rispetto a quella tradizionale, più aderente agli attuali standard della Fisica e maggiormente in grado di fornire informazioni sull’oggetto di cui si valuta la continuità stessa. In ogni caso, per tutti i lettori interessati, tornerò senz’altro sull’argomento e scriverò altri articoli. La lettura in sequenza cronologica di tutti gli articoli consentirà un grado di comprensione sempre maggiore.

venerdì 14 maggio 2010

IL CARNEVALE DELLA MATEMATICA EDIZIONE 25





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Oggi è il 14 maggio, tempo della 25° edizione del Carnevale della Matematica, ospitato su Matem@ticamente, che entra così nel suo terzo anno di vita.

Trenta sono i partecipanti per un totale di ben 74 articoli tra cui sono presenti quelli del nostro blog Gravità Zero.

Il prossimo carnevale della matematica sarà ospitato da Science BackStage

Il Carnevale della Matematica in Spagna

Ricordiamo che gli amici Spagna, celebrano questo mese di maggio il Carnaval de Matemáticas nella loro quarta edizione su Zurditorium.com. L'edizione precedente era stata ospitata su Geometria Dinamica.

Ecco infine il sito "matematti" dove è possibile iscriversi per ospitare il carnevale e dove sono anche raccolti i link delle vecchie edizioni.

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