lunedì 3 giugno 2013

PROVATE A STABILIRE SE LA PASTA È DI GRANO DURO

Attenzione: questo articolo è stato aggiornato dopo la pubblicazione originale.

Un'azienda produce pasta di grano duro. Sa che può arrivare ad una percentuale massima di grano tenero pari al 5%. Ed infatti si rifornisce da un fornitore che garantisce una percentuale massima di grano tenero pari al 3%. Fin qui tutto liscio.

Un giorno la Guardia di Finanza prende un campione di grano da uno dei silos dell'azienda e scopre che esso contiene il 10% di grano tenero. L'azienda afferma che un solo campione non è sufficiente, in quanto - probabilmente - il grano prelevato dalla G.d.F. è stato estratto da una zona ad alta concentrazione di grano tenero.

Chi ha ragione?

Giorgio Parisi
Ho estratto questa storia da un libro molto interessante: La chiave, la luce e l'ubriaco di Giorgio Parisi, pubblicato da Di Renzo Editore. Si tratta di un testo in cui l'autore, dopo aver delineato i tratti essenziali della  Fisica del '900 (perlatro ben spiegati anche da Leonardo Petrillo, come introduzione ad un recente Carnevale della Fisica), tratta in maniera divulgativa i sistemi complessi.

La sezione del libro che mi ha maggiormente colpito è quella relativa ai collegamenti della fisica con altre discipline, come la biologia o l'economia. Proprio in questa parte del testo, la metafora dell'ubriaco che di notte cerca le chiavi non dove le ha perse, ma dove c'è luce, viene utilizzata dall'autore per indicare che la scienza si muove proprio in questo modo: concentra dapprima le sue energie dove intravede uno spiraglio di luce.

E voi, rispetto al quesito sopra presentato, vedete la luce?

"Per poter affrontare un problema occorre avere un punto di partenza, una linea d'attacco, uno strumento adatto allo scopo" afferma Giorgio Parisi. Se avete qualche idea su una possibile soluzione al quesito, non esitate ad indicarla nei commenti a questo articolo. Uno dei principali oggetti di studio trattati nel testo citato è proprio il comportamento collettivo. Il vostro comportamento, ovvero i vostri contributi possono illuminare un pezzo di realtà e - forse - porre nuovi e interessanti quesiti.

Walter Caputo - 3 giugno 2013

AGGIORNAMENTO 4/6/2013 ore 22:30

Ringrazio tutti coloro che hanno fornito contributi alla soluzione del quesito (ed in particolare i Rudi Matematici), ed elenco qui di seguito i commenti (e gli apprezzamenti) non visibili in fondo a questo articolo in quanto postati su Facebook:

Marco Cattaneo, direttore di Le Scienze: "Bello, il quesito. E quanto mai interessante la fisica dei comportamenti collettivi, che va dalla dinamica dei fluidi ai silos che esplodono. Bellissimo."
Monica Marelli: "dev'essere un libro bellissimo! lo voglio!!!!!!!!!!!"
Angelo Capalbo: "Secondo me dipende dalla grandezza del campione estratto e dal tipo di lavorazione che il grano subisce (c'è omogeneità o c'è tanta varianza dei valori percentuali di presenza di grano duro?)......"
Emiliano Tollemeto: "Infatti bisognerebbe capire se la proporzione del 5% e' una stima robusta, o comunque in quale intervallo e' compresa, inoltre la proporzione rilevata dalla G.d.F che criteri ha? Questo per capire se il dato e' puramente casuale o meno"
Leopoldo Benacchio: "la domanda è mal definita, nulla sappiamo del silos e delle metodologie di produzione e stivaggio, sorry"
Margherita Spanedda: "Per la campionatura la G.d.F. ha seguito un protocollo ?"
Paolo Pascucci: "ma grano tenero e grano duro hanno anche diversa granulometria e densità (polvere -farina- il grano tenero e semola il grano duro); questo potrebbe influire sul mantenimento della mescola quando depositato in un silos ( potrebbe cioè far precipitare la parte più densa)?"

AGGIORNAMENTO 8/6/2013 ore 14:00 - LA MIA PROPOSTA DI SOLUZIONE

Applico al problema un test sulle frequenze relative, considerando la popolazione di riferimento binomiale. L'ipotesi nulla del test è che la proporzione di grano tenero sia del 5% e che quindi l'azienda rispetti la legge. Lipotesi alternativa è che la proporzione sia maggiore del 5% e che quindi l'azienda abbia violato la legge: in questo caso avrebbe ragione la Guardia di Finanza.

Procedo quindi con un test a una coda a destra, ipotizzando di avere a disposizione un campione (estratto casualmente) tale da poter approssimare la funzione test usando la Normale. Considero un livello alfa di rischio del 5%.

Utilizzando le tavole della Normale si ricava il valore soglia che discrimina la regione di accettazione dell'ipotesi nulla da quella di rifiuto. Tale valore è 1,65. Se dalla funzione test si ottiene un valore inferiore si accetta l'ipotesi nulla, in caso contrario si rifiuta. Se si dovesse ottenere esattamente 1,65, sarebbe opportuno variare il livello di rischio, portandolo all'1%.

La funzione test richiede l'inserimento della dimensione del campione. Questa informazione purtroppo è ignota. Tuttavia è possibile inserire una x nella funzione test e risolverla come un'equazione imponendo l'uguaglianza ad 1,65. Risolvendo l'equazione si ottiene una dimensione del campione tale che, se il campione estratto fosse maggiore si rifiuta l'ipotesi nulla e quindi, in tal caso, avrebbe ragione la Guardia di Finanza.

La soluzione dell'equazione richiede che si imponga una condizione su x (dimensione del campione): x deve essere diverso da zero, ma si tratta di una condizione assolutamente accettabile, in quanto x=0 significherebbe che non è stato estratto alcun campione (in tal caso nulla si potrebbe dire in merito alla proporzione di grano tenero).

La soluzione dell'equazione sopra citata è x=51,7275. Ciò significa che:
- se la dimensione del campione estratto (per noi ignota) è superiore a 51,7275 si rifiuta l'ipotesi nulla, quindi si accetta l'ipotesi alternativa, il che significa che l'azienda ha violato la legge. In questo caso ha ragione la Guardia di Finanza;
- se la dimensione del campione estratto è inferiore rispetto a 51,7275 si accetta l'ipotesi nulla, quindi l'azienda non ha violato la legge. In questo caso ha ragione l'azienda, nel senso che la differenza fra il limite di legge del 5% e la percentuale del 10% riscontrata dalla G.d.F. è da attribuirsi al caso.

Walter Caputo - 8 giugno 2013

AGGIORNAMENTO 10/6/2013 ore 14:45 - IL COMMENTO DEL PROF. GIORGIO PARISI


Per riassumere, sono due i tipi di dubbi sull'operato della Guardia di Finanza che sono stati anche menzionati nei vari commenti. 

1) Fluttuazioni statistiche: io spero che la Guardia di Finanza abbia preso un campione sufficientemente grande: un chicco di grano dovrebbe pesare qualche frazione di grammo, se il campione è di un chilo non dovrebbero esserci problemi. La ditta non aveva obiezioni su questo parte della procedura.

2) Il punto più delicato era simile a quello menzionato anche da Paolo Pascucci: il grano duro e il grano tenero hanno diverse proprietà, densità grandezza e questo fatto avrebbe potuto influire sulla separazione. Infatti il grano viene versato dall'alto nei silos e secondo le necessità prelevato dal basso. I vari scuotimenti avrebbero potuto favorirne la separazione sia a causa di una banale differenza di densità (notate che tutti e due i grani erano nella forma chicchi) che a a causa del più sottile "Brasizilan nut effect", descritto in http://en.wikipedia.org/wiki/Granular_convection. Se si considera una miscela di particelle della stessa densità, le particelle più grandi tendono ad affiorare quando la miscela è scossa.

Giorgio Parisi



7 commenti:

paginedinatura ha detto...

Da una lettura veloce posso dire che ha ragione l'azienda, se il contenuto massimo acquistato dal subfornitore è del 3% del totale ordinato, non è possibile trovarne il 10% (salvo fornitura errata) e al massimo quel 10% sarà riferito al campione prelevato.

dioniso ha detto...

La prima cosa che mi viene in mente, e quindi sicuramente sbagliata, è qualcosa sulla differenza di peso specifico dei due tipi di chicco.

Piotr ha detto...

Mah. Come al solito, non capisco.
Nel testo, percentuali a parte, mi pare che ci siano alcune parole chiave, che sono "silos" e "campione". A meno che non ci siano trucchi particolari, nell'accezione normale un silos è molto, molto più grande di un campione (mi aspetto che un silo sia grosso come una casa, e un campione sia grosso come una provetta.)
Se le cose stanno così, è evidente che il famoso 3% (di silos) di grano tenero basta e avanza a coprire tutto il 100% del volume di una provetta, quindi la domanda avrà senso solo in termini probabilistici e di regolamenti di miscelatura.
Mi spiego meglio: se la domanda ultima del quiz è “Può fisicamente entrare il 10% di grano tenero in una provetta”?, visto che il 3% di un silo è un volume che riempie agilmente migliaia di provette, la riposta è un banale “sì”, accompagnato da un’espressione di perplessità dovuta alla stranezza della domanda.
E’ invece più probabile, almeno credo, che la domanda vera nascosta nel quiz sia più complessa, ovvero di questo tipo: “All’interno del silo si trova già la miscela di grano duro e tenero in certe proporzioni, che l’azienda asserisce essere – mediamente - pari al 3%. La GdF preleva un campione in cui la percentuale è invece del 10%. La Gdf pensa che il suo campione sia rappresentativo del totale del silo (ovvero, pensa che dentro tutto il silo la miscela dei grani sia al 10%, e quindi che l’azienda sia punibile; l’azienda dice invece che è un caso o, per dirla più tecnicamente, una fluttuazione statistica.
A questo punto, per dirimere la questione bisogna calcolare la probabilità che da una miscela al 3% (o al 5%, a seconda che si voglia misurare la veridicità di quanto afferma l’azienda o semplicemente l’aderenza alla normativa dal parte dell’azienda medesima) possa essere casualmente estratto un campione che palesi un rapporto pari al 10%. Questo, i matematici veri, lo sanno fare in un amen: io però non sono matematico, quindi mi chiamo fuori. Però, una volta nota la distribuzione probabilistica dei campioni (che immagino possa essere assimilata ad una gaussiana ben centrata sul valor medio) capire quale sia la probabilità di estrarre un campione con un certo rapporto percentuale non è difficile. A naso, direi che la probabilità di estrarre un campione da 10% su una miscela 5% sia abbastanza bassa, dell’ordine di una probabilità su cento. Quella di estrarre una 10% da una miscela 5%, decisamente più bassa, forse meno che una probabiltà su mille (ma vado a naso, eh?).
A questo punto, spetterà al giudice decidere se l’azienda è stata sfigata a beccare la pallina nera su mille bianche, o se è più normale concludere che di palline nere ce ne siano un bel po’ di più, nella miscela.
Comunque, basta prelevare un altro paio di campioni, e si capisce davvero con ragionevole certezza dove sta la verità: fosse giusta la mia stima di 1 su 1000 per il campione da 10%, la probabilità di prelevare tre campioni da 10% è già una su un miliardo. Con tre campioni al 10%, direi che è lecito dare della bugiarda all’azienda.

[R-D] ha detto...

Per realizzare la pasta la materia prima utilizzata deve essere una sostanza omogenea. Quindi nel silos non dovrebbero esserci "zone " a più alta concentrazione di grano tenero.

gifh ha detto...

Piotr ha illustrato una splendida disamina analitica, tuttavia sono dubbioso sulle probabilità della rappresentatività del campione analizzato. A mio avviso per qualsiasi stima occorre conoscere l'accuratezza del risultato della GdF. Se ad esempio quel dato fosse 10 ± 6%, e ci si basasse su quell'unica determinazione, l'azienda avrebbe il beneficio del dubbio che il suo grano potrebbe contenere anche solo il 4%. Particolare non trascurabile inoltre è il fatto che l'azienda potrebbe rivalersi sul proprio fornitore.

Anonimo ha detto...

Scusate se mi introduco solo ora, ma ho trovato interessante l'argomento.
Ma un'altra lettura per non cercare solo dove c'è la luce, non potrebbe essere quella di analizzare un campione significativo di pasta prodotta con quella semola (in base alla tracciabilità molto rigida nel settore) e valutare la % di tenero direttamente sulla pasta? in fondo la legge vieta la produzione della pasta con + del 3% di sfarinato tenero, non mi vieta di tenere nei silos il grano tenero?
Grazie
Oscar

Walter Caputo ha detto...

Molto interessante il commento di Anonimo !!!