venerdì 1 ottobre 2010

L’INFINITO MISURABILE


“Il miracolo dell'appropriatezza del linguaggio della matematica per la formulazione delle leggi della fisica è un dono meraviglioso che non capiamo né meritiamo. Dovremmo essere grati per esso e sperare che resti valido in futuro”


Scriveva Eugene Wigner (premio Nobel per la Fisica nel 1963) nel suo saggio "La irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali" pubblicato nel 1960. Eppure ogni giorno vediamo come nuove teorie soppiantano altre che, in poco tempo, vengono considerate “superate”. In modo analogo non ci sorprendiamo se uno strumento scientifico più potente dei precedenti ci consente di cambiare la nostra visione su un determinato oggetto.
Ad esempio, visti “da lontano” gli asteroidi erano per l’uomo dei semplici sassi in orbita, ma grazie a telescopi ogni volta più precisi oggi sappiamo che possono nascondere ghiaccio e addirittura composti organici al loro interno.
Assistiamo dunque da tempo ad una trasformazione della scienza. Invece quando si parla di matematica, che giustamente affascinava Wigner per essere il “naturale” linguaggio della fisica, si tende a vederla come una scienza immutabile. Ciò nonostante anche gli strumenti matematici vanno rinnovati, altrimenti si avrà necessariamente un allontanamento fra la fisica (che descrive la realtà quotidiana e che si evolve senza sosta) e il suo linguaggio, che resta fermo e cristallizzato.

Partendo da questo principio il Prof. Yaroslav Sergeyev, matematico russo e professore ordinario di Analisi Numerica presso il Dipartimento di Elettronica, Informatica e Sistemistica dell’Università della Calabria, ha elaborato un nuovo edificio matematico per adeguare il linguaggio dell’Analisi Matematica tradizionale alla fisica di oggi. Il suo approccio si basa sull’idea che spesso la matematica richiede di eseguire determinate operazioni un numero infinito di volte, mentre le nostre menti (ma anche le macchine) sono in grado di eseguirle soltanto un numero finito di volte. Sebbene ciò impedisce di fornire una descrizione completa degli insiemi e dei processi infiniti, secondo Sergeyev “possiamo quanto meno costruire strumenti più potenti che ci consentano di comprendere meglio le proprietà degli oggetti matematici”. E nella sua teoria questo nuovo strumento è un nuovo sistema numerico, mentre l’oggetto è l’infinito.

Consideriamo, ad esempio, una scatola contenente 100 cioccolatini e di estrarne uno. Sebbene sia ovvio che questo sarà inferiore ai restanti 99, meno ovvio è prendere una manciata di cioccolatini da una scatola che ne contiene un numero infinito e chiedersi se il numero estratto è inferiore rispetto a tutti quelli contenuti nell’intera scatola (o intero). Secondo la nostra esperienza (l’osservazione) sia la manciata che il resto della scatola sono inferiori all’intero. Tuttavia dal punto di vista dell’Analisi Matematica tradizionale infinito (cioè l’intero) meno 1 dà come risultato infinito, ma anche infinito meno 100 o meno 1000 fa ancora infinito. Ciò implica che, dopo aver tolto una manciata di 1, 10, 100 o 1000 (o qualunque valore finito) cioccolatini dalla scatola, quello che rimane nella scatola non è inferiore all’intero bensì è l’intero. Questo potrebbe indurre a pensare che secondo l’Analisi tradizionale la parte è uguale all’intero, risultando troppo approssimativo e lontano da ciò che osserviamo, visto che non riesce a tradurre in numeri un’operazione che è facilmente osservabile.

Il Prof. Sergeyev, invece, ha elaborato un nuovo sistema numerico che consente di eseguire calcoli non solo con quantità finite, ma anche con infiniti e infinitesimi. E per misurarli ha introdotto il grossone (dall’inglese gross one), una nuova unità di misura che non è altro che l’ultimo numero naturale dell’insieme N (0, 1, 2, 3 ecc.), vale a dire il più grande di tutti. Questo insieme conterrà quindi un numero di elementi pari al grossone. L’obiettivo è quello di semplificare operazioni di calcolo complicate come infinito-1000=infinito, infinito-infinito=quantità indeterminata, ecc. che invece in questo modo assumono un significato fisico. Riprendendo l’esempio precedente, se la scatola contiene un numero di cioccolatini pari a grossone (cioè una manciata molto grande), allora la quantità grossone meno 1 è inferiore al grossone. E lo stesso vale per grossone meno 2 e grossone meno 3 e via dicendo.

Secondo il Prof. Gabriele Lolli, uno dei maggiori logici italiani presso il dipartimento di Filosofia della Matematica della Scuola Normale Superiore di Pisa, “si può affermare con sicurezza che non vi sono contraddizioni nel calcolo del grossone". (si veda "Newton", numero 0, 2010). La differenza principale del nuovo approccio rispetto alle già esistenti teorie di analisi non-standard è il suo forte carattere computazionale, capace di aprire un nuovo cammino nella teoria e nella pratica del calcolo, tant’è che è già in corso di sfruttamento da parte di diverse aziende. Il Prof. Sergeyev assicura infatti di non voler limitare la matematica tramite un’impostazione assiomatica, ma intende piuttosto “fornire un insieme di regole generali per eseguire i calcoli, lasciando la porta aperta a sviluppi o modifiche suggerite dall’uso”.


2 commenti:

Michele Filannino ha detto...

Ok ora ho capito la questione del "gross-one". Posto in essere che si eliminino i casi di indeterminatezza, non riesco a capire in cosa sia innovativo tale approccio.

Mi spiego meglio. Se continuassi a chiamare il numero infinito "infinito" e mi imponessi di lasciare le forme di indeterminazione così come sono (senza risolverle) a quel punto non sarebbe uguale ad usare gross-one?

Cioè se in analisi, infinito-3=infinito e al posto di risolverlo come ho appena fatto mi limitassi ad esprimerlo semplicemente come "infinito-3", non sarebbe esattamente identico al ragionamento che ha portato alla concezione del gross-one?

L'ottima idea, mi sembra di capire, è quella di immaginarlo come il più grande dei possibili numeri, MA PUR SEMPRE COME NUMERO. Ciò risolve alcune questioni spinose e soprattutto computazionalmente risolve l'implementazione di algoritmi che includano il concetto di infinito. Ok, ma mi risulta che già oggi, software come DERIVE, MATLAB etc.. pur senza parlare di gross-one in realtà utilizzino un ragionamento simile.

Mi sbaglio?

Michele Filannino.

PS. Ho letto diversi documenti su Grossone ed in effetti non sussistono i problemi che avevo sollevato in principio.

Walter Caputo ha detto...

Grazie Michele,
direi che le cose che hai capito sono corrette. Per quanto riguarda, ad es. infinito meno 3, l'innovazione di Sergeyev consiste nel misurare l'infinito. Mi spiego: gross one - 3 è diverso da infinito - 3, poichè infinito è, diciamo, una lunghezza non misurata, mentre gross one è, ad es., il metro cioè l'unità di misura. Allora infinito è una grandezza, gross one è un campione di misura; il rapporto fra una grandezza e un campione di misura non è nient'altro che una misura. Quindi il processo di misurazione, tipico della fisica, viene applicato alla grandezza matematica chiamata "infinito" e a quella detta "infinitesimo". Di conseguenza riuscire a misurare l'infinito e l'infinitesimo implica la creazione di un software che non si fermi, come quelli attuali, all'infinito, ma che possa proseguire nei calcoli, considerando appunto non infinito e infinitesimo, ma bensì la misura di infinito e di infinitesimo.
In ogni caso avremo modo di continuare a discutere sull'approccio di Sergeyev. Grazie ancora per il commento.
Walter