venerdì 6 febbraio 2009

MISURIAMO IL CONTORNO DEL LICHENE RHIZOCARPON GEOGRAPHICUM s.l. CON LA GEOMETRIA FRATTALE (metodo empirico)

“Eppure si manifesta una relazione, una piccola relazione che si espande come l’ombra di una nube sulla sabbia, di una forma sul fianco di una collina…” (Wallace Stevens, Connoisseur of Caos)

Fu durante un’escursione in montagna che notai su rocce brulle alcune chiazze giallastre dai contorni frastagliati, leggermente in rilievo dopo un’abbondante pioggia. Mi balenò l’idea di voler misurare il contorno di una figura così irregolare.

La macchia giallastra e finemente ornata è il lichene crostoso Rhizocarpon geographicum s.l.: ha una morfologia con sporgenze e rientranze assai irregolari.




Come misurare, dunque, il suo perimetro? Il supporto della geometria euclidea era insufficiente, poiché non misura il grado d’irregolarità dei contorni di forme assolutamente prive di regolarità.

La natura sviluppa architetture assai complicate: forme frammentate, frastagliate e spezzate, come ad esempio le curve cristalline dei fiocchi di neve, i contorni delle nuvole e le coste delle isole.

Nel 1975 il matematico Benoît B. Mandelbrot si cimentò alla determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna, soddisfacendo il quesito della misurazione dei contorni frastagliati, con la geometria frattale, termine coniato da egli stesso nello stesso anno: “Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi e la corteccia degli alberi non è liscia, né il fulmine viaggia in linea retta”. (Benoît Mandelbrot)

Egli propose di far avanzare lungo la costa in esame un compasso di apertura prescritta h e ogni passo cominciava dove finiva il precedente. Il valore dell’apertura h moltiplicato per il numero di passi dava la lunghezza approssimativa L(h) della costa. Tuttavia rendendo l’apertura del compasso sempre più piccola, i numeri di passi aumentavano e la lunghezza tendeva in questo modo all’infinito.

Spezzando ulteriormente la costa si giungeva a una misurazione la più possibile vicina alla realtà, con l’utilizzo di un numero frazionario.

Secondo Mandelbrot, quindi, un metodo per avvicinarsi alla complessità della natura è espresso dalla geometria frattale e, sebbene le curve frattali non si estendano all’infinito, esse sono tali che la loro lunghezza tra due punti qualunque è infinita, affermazione giustificata dall’introduzione del concetto di dimensione non intera.

In questo modo l’efficacia algoritmica della teoria euclidea si scontra inevitabilmente con le esigenze dell’indagine fisica. Il frattale (dal latino fractus = rotto) diventa un modello matematico che permette di far fronte a varietà di oggetti con dimensioni mutevoli, descrivendone particolari irregolarità, che le dimensioni euclidee (lunghezza, larghezza e profondità) non riescono a cogliere.

Il concetto di dimensione frattale D è un parametro che determina il grado d’irregolarità delle forme prese in esame.

Nella geometria euclidea il punto ha dimensione D = 0, un segmento ha dimensione 1 (D = 1), un quadrato ha D = 2 e un cubo ha dimensione 3 (D=3).

Nella geometria frattale, che è frazionaria (fractus), le dimensioni sono così espresse:

0 ≤ D <1 style="font-weight: bold;">1 ≤ D <2 style="font-weight: bold;">2 ≤ D 3 rappresenta superfici estremamente convolute.



A questo punto, compreso il calcolo della Dimensione frattale, il contorno di un lichene come poteva essere misurato?

Per prima cosa cercai alcune curve frattali che potevano avvicinarsi al contorno del Rhizocarpon geographicum s.l e trovai la curva di Koch che ha dimensione frattale:

D = log 4 / log 3 = 1,262


E analizzai il metodo di calcolo applicato alla curva di Koch, costruita partendo da un triangolo equilatero.

Si divide il lato in tre parti uguali e su ogni lato, nella parte centrale, si disegna un nuovo triangolo equilatero di lato l/3. Si ripete il procedimento su ogni segmento.

Ad ogni passo il contorno diventa più frastagliato: quindi N = 4 e r = 1/3 del segmento totale



Applicando la formula

D = log N/log(1/r)
si ottiene
D = log 4/log 3 = 1.262

Il risultato è un numero frazionario compreso fra 1 e 2 e la dimensione ottenuta ci dà un'idea di quanto il frattale riempia il piano: frattali di dimensione prossima a 1 sono simili a una curva, frattali di dimensione prossima a 2 tendono a occupare tutto il piano.

Ora potevo dimostrare che il lichene Rhizocarpon geographicum s.l è un frattale partendo da un approccio lineare, che permette di estrarre gli elementi regolari più evidenti: mi aspetto che la misura della dimensione frattale sia molto vicina al valore della Curva di Koch.

Diedi inizio alla sperimentazione con materiali e metodi assai semplici: un compasso, una matita e un foglio di carta millimetrata traslucida. Fissai l'apertura del compasso e lo spostai lungo il perimetro del lichene campione, ogni passo del quale iniziava dove finiva il precedente. Il valore dell'apertura moltiplicato per il numero dei passi dava la lunghezza approssimativa del contorno. Ho ripetuto l'operazione, rendendo l'apertura del compasso sempre più piccola, in modo che l’approssimazione della lunghezza reale fosse sempre più precisa.

Il risultato ottenuto fu l'aumento della dimensione del perimetro: a ingrandimenti maggiori si ottiene una misura sempre più vicina alla realtà, al punto che il processo ricorsivo può giungere all'infinito.
Al fine di determinare la dimensione frattale e, quindi, di valutare il grado d’irregolarità, ho riprodotto su carta millimetrata traslucida il contorno del lichene crostoso, riportando le diverse aperture di compasso.


Conteggiai, poi, il numero dei quadretti ricoprenti il contorno della figura. Il risultato fu che il perimetro, a maggior dettaglio, aumentava in valore e questa variazione poteva avvenire solamente se il contorno era estremamente frastagliato. Quindi, aumentando il grado di frastagliatura e l'irregolarità del contorno, si assisteva a un incremento della dimensione, come affermò Mandelbrot quando misurò la costa della Gran Bretagna.

Il risultato era raggiunto: era possibile, dunque, descrivere la figura lichenica alla stregua della geometria frattale.

Fu un calcolo puramente empirico, svolto nelle seguenti fasi:
1. riproduzione su carta millimetrata traslucida il contorno del lichene fotografato a 10 ingrandimenti
2. conteggio del numero di quadretti di lato variabile ricoprenti il contorno della figura
3. studio della relazione tra il logaritmo del numero dei quadretti e del rispettivo logaritmo del reciproco della lunghezza del lato,

Infine con semplici calcoli matematici, un’equazione di primo grado e un semplice sistema, giunsi ad affermare che la dimensione (la frastagliatura) del campione considerato, essendo poco pronunciata, ha valore D = 1,127

Il lichene Rhizocarpon geographicum s.l è da considerarsi un frattale lineare, una struttura i cui algoritmi (insieme di procedure matematiche) hanno solo termini di primo ordine, per intenderci analogamente alle rette su un piano.

Per confermare in pieno l’enunciato occorre vedere se il lichene ha dettagli su scale di grandezza arbitrariamente piccole, ossia presenta una struttura fine.

Consideriamo ad esempio l’immagine del Rhizocarpon geographicum s.l . al microscopio elettronico:











Si nota immediatamente che il contorno di un tassello del lichene è simile al contorno del lichene stesso a grandezza naturale, in altre parole è una copia in piccolo del lichene completo.

Come ultima conferma occorre valutare se il lichene ha forme di autosomiglianza, vale a dire che il tutto è simile a ogni sua parte. Si riscontra, infatti, che i licheni tendono a ricoprire il substrato litico su cui vivono secondo una tassellatura irregolare aperiodica e a tratti discontinua. La figura mostra che il lichene nella sua interezza è autosimile a una sua parte componente l’intero.


Con l'uso di semplici regole che vi ho esposto, v’invito a cercare negli aspetti naturali forme frattali e a scoprire la molteplicità di queste figure dove, nell'ambito della varietà stessa, si può scorgere la bellezza e la perfezione delle manifestazioni della natura nel suo insieme e nella sua unicità. Buon lavoro!

Un breve sunto per facilitarvi la ricerca:

Quando ci si trova di fronte ad un frattale?
Qui a seguito indico alcune proprietà che regolano l'insieme frattale e ne caratterizzano la sequenza logica e rendono possibile l'identificazione e la rispondenza nell'osservazione di oggetti naturali.

Ecco come riconoscerli:

1. L'oggetto ha dettagli su scale di grandezza arbitrariamente piccole, ossia presenta una struttura fine.
2. L'oggetto è irregolare e non può essere descritto con il linguaggio geometrico tradizionale.
3. L'oggetto presenta forme di autosomiglianza, vale a dire che il tutto è simile a ogni sua parte.
4. La dimensione dell'oggetto, che quantifica il suo grado d’irregolarità e di frammentazione, è maggiore della dimensione data dalla geometria di Euclide, poiché misura le più piccole irregolarità.
5. L’insieme può essere riprodotto in modo molto semplice attraverso un procedimento ricorsivo.

Alla ricerca di figure frattali :
http://it.wikipedia.org/wiki/Frattale




Nessun commento: