sabato 21 novembre 2009

MOTO ED ENERGIA NELLA DIDATTICA

La Fisica per quanto possa essere appassionante è indubbiamente una materia non facile. Per i ragazzi poi, quando la incontrano per la prima volta nella scuola superiore, le difficoltà sono ancora di più. Infatti, senza l'aiuto dell'Analisi Matematica o di conoscenze minime della fenomenologia sperimentale, comprendere una moltitudine di principi e formule troppo mnemoniche e poco logiche è realmente un'impresa. Questa non è fisica!
Non di rado nei libri scolastici ho trovato formule da usare prive di qualunque giustificazione. Purtroppo al terzo anno della scuola superiore c'è mancanza di corrispondenza tra i programmi di matematica svolti e i metodi matematici necessari per lo studio della Fisica. Vorrei proporre proprio in occasione della prima edizione del Carnevale della Fisica, un mini percorso teorico per l'introduzione di concetti fondamentali come il lavoro di una forza e l'energia cinetica, dedicandolo soprattutto a chi affronta per la prima volta lo studio della Meccanica. Avviso però che non c'è nulla di innovativo sotto questo cielo, anzi è tutto molto semplificato, in quanto si tratta di elementi di Fisica di base e pertanto chiedo scusa in anticipo a tutti i colleghi che insegnano con passione e dedizione la Fisica.

L'aspetto cinematico
Per la legge d'inerzia, proprio dovuta a Galileo Galilei prima ancora che a Newton, un corpo mantiene il proprio stato di moto rettilineo unforme o rimane immobile rispetto ad un osservatore (che può essere considerato il caso particolare a velocità zero del moto rettilineo uniforme) sino a quando non intervengono forze esterne a mutarne lo stato. Per questo il moto rettilineo uniforme di un corpo può essere definito "inerziale" o meglio, solo un moto realmente inerziale (totale assenza di forze esterne) è un vero moto rettilineo uniforme. Ogni qual volta invece nello spazio è presente una risultante non nulla di forze, il corpo si muove di moto accelerato. Per semplificare, se la forza agente è sempre coassiale con la direzione del moto ed è costante nel tempo, il moto è "uniformemente" accelerato.

Ora non potendo utilizzare il calcolo differenziale e integrale, la derivazione delle equazioni del moto è un po' più ardua e meno naturale e solitamente è ottenuta per via grafica e analitica.


Lavorando su un solo asse possimo partire dalla definizione scalare di accelerazione, quindi trascurando il fatto che si tratta di un vettore, si ricava subito la prima delle equazioni che descrive la variazione di velocità in un dato intervallo di tempo:

(1) (v - v0) = a (t - t0)

Mettiamo bene in evidenza che:


a) il moto è uniformemente accelerato solo se la forza agente è costante.


b) le accelerazioni media e istantanea nell'intervallo [t, t0] in questo caso coincidono.

Per ottenere la seconda equazione esistono varie scuole di pensiero. C'è chi non la ottiene ma la enuncia. C'è chi la dimostra per via grafica e sono i più. Per arrivare alla dimostrazione per via grafica, dato che l'area del grafico velocità x tempo rappresenta lo spazio percorso dal corpo durante l'intervallo di tempo considerato, solitamente si usa l'area del trapezio individuato dal grafico velocità-tempo dell'equazione (1) in un intervallo [t, t0], ottenendo:


(2) S - S0 = AREATRAPEZIO(v,t) = (t - t0)(v + v0)/2


dalla quale difficilmente si riesce ad ottenere in maniera matematicamente intuitiva, specialmente per un adolescente, l'equazione oraria del moto uniformemente accelerato. A mio parere è molto meglio scomporre l'area del trapezio in due componenti distinte (A) e (B):

(A) area del rettangolo associata allo spazio percorso durante il moto inerziale alla velocità iniziale v0 che aveva il corpo prima di subire l'azione della forza esterna.


(3) S1- S0 = v0 (t - t0)

(B) area del triangolo rettangolo associata all'incremento di spazio percorso per l'effetto della sola componente di moto accelerato.

(4) S - S1 = (v - v0)(t - t0)/2.

sostituendo l'equazione (1) nella (4) si ottiene:

(5) S - S1 = 1/2 a(t - t0)2,

sommando ora i due distinti contributi ecco in modo un po' più intuitivo l'equazione oraria del moto uniformemete accelerato

(6) S - S0 = (S1 - S0) + (S - S1) = v0(t - t0)+ 1/2 a (t - t0)2

Forze, Lavoro ed Energia
Indipendentemente dal metodo usato, intuitivo o meno, se è sempre possibile ottenere l'equazione oraria del moto uniformemente accelerato (6) in modo corretto, non è altrettanto semplice e immediato ottenere le definizioni di energia e lavoro di una forza.

Cominciamo considerando che le equazioni (1) e (6) sono per così dire "sincronizzate", ovvero descrivono simultaneamente lo spazio percorso e la velocità raggiunta da uno stesso corpo in moto uniformemente accelerato. Accoppiando le equazioni (1) e (6) in un sistema parametrico in cui il parametro tempo viene eliminato per sostituzione, si ottiene:

(7) (S - S0) = (v2-v02)/2a

l'equazione (7) ha molteplici vantaggi:

I) permette agevolmente di ottenere le formule che legano spazio e velocità con l'accelerazione come nel caso di caduta o ascesa di un grave.
II) rappresenta la soluzione teorica generale del "modello" di moto uniformemente accelerato
III) applicando il secondo principio della dinamica newtoniana nella forma scalare a = F/m, la (7) si trasforma immediatamente nel teorema delle forze vive:

(8) F (S - S0) = 1/2 mv2 - 1/2 mv02

IV) la simultanea validità delle equazioni del moto (1) e (6) per ogni forza attiva, rende pressocché illimitata la validità dell'equazione (8) che è perciò sempre vera, fornendo così la miglior giustificazione teorica dell'energia cinetica di un corpo.

Definendo il prodotto tra forza applicata e spostamento prodotto come lavoro W di una forza, la conservazione "nel tempo" del lavoro compiuto dalla forza agente è proprio l'energia cinetica K del corpo
(9) K =1/2 mv2,
perciò l'equazione (8) diventa:

(10) W = K-K0 .
Se consideriamo che il corpo prima che intervenga la forza esterna a compiere lavoro è inizialmente fermo rispetto all'osservatore, K = W è il lavoro ma anche l'energia di movimento che il corpo ha acquistato e conserva nel tempo.
Possiamo quindi concludere affermando che non è possibile per un corpo possedere energia cinetica rispetto ad un osservatore senza che in un tempo passato o presente delle forze esterne abbiano prodotto o sul corpo o sull'osservatore, del lavoro meccanico che ne abbia alterato il moto relativo.
Tutto quel che abbiamo visto sembra poco perché si può dire in poche righe e un qualche equazione ma si riferisce a concetti che occupano solitamente pagine e pagine di un libro di testo. Perché complicare le cose?

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