LA NUOVA ARITMETICA DELL'INFINITO: GRAVITÀ ZERO INTERVISTA IL PROF. DAVIDE RIZZA

Un nuovo metodo per trattare quantità infinite ed infinitesime è stato recentemente ritenuto privo di contraddizioni da Gabriele Lolli, uno dei più stimati logici italiani, che ha da poco pubblicato un libro sulle basi della matematica.

Prof. Davide Rizza

Di questo metodo si parlerà il prossimo 19 giugno nell'importante conferenza internazionale NUMTA 2016. Il 5 luglio vi sarà un'altra importante occasione di apprendimento sul tema: il suo titolo è "Teaching the Arithmetic of infinity". L'autore è il Prof. Davide Rizza, e Gravità Zero l'ha intervistato per voi.

Dove e come comincia la sua storia accademica e professionale?

La mia formazione accademica comincia dalla Laurea in Filosofia presso l'Università Statale di Milano, con una tesi seguita dal Prof. Silvio Bozzi e dedicata alla storia del calcolo vettoriale, specialmente ai lavori di Giuseppe Peano sui fondamenti della geometria. Al Prof. Bozzi devo una viva consapevolezza di quanto la matematica sia parte integrante della cultura e un elemento centrale della cultura filosofica in particolar modo. In forza di questa convinzione, mi sono in seguito sempre dedicato ad uno studio congiunto della matematica (in particolare l'analisi, accanto alla logica matematica) e della filosofia.

Durante il dottorato in filosofia della matematica, conseguito all'Università di Sheffield nel Novembre 2008, ho avuto modo di interessarmi alla costruzione di modelli matematici nelle scienze sociali, soprattutto in psicologia, la cui pratica sperimentale ha motivato numerosi studi assiomatici sui fondamenti della misurazione. In questo contesto, l'incontro con alcuni contributi di Louis Narens, dedicati alle applicazioni dell'analisi non-standard - che permette di lavorare con numeri infinitamente grandi ed infinitamente piccoli - mi ha convinto ad esaminare più a fondo le possibilità di utilizzare sistemi numerici più ricchi di quelli tradizionali per costruire modelli matematici nelle scienze sociali. Questo è l'obiettivo di due miei articoli di recente pubblicazione, sulla teoria dell'utilità.

Prof. Yaroslav Sergeyev

La ricerca di ulteriori punti di vista metodologici sull'uso di quantità infinitamente grandi o piccole mi ha condotto agli affascinanti lavori dal Prof. Yaroslav Sergeyev, che costituiscono un importante stimolo alla base della mia attività di ricerca attuale.

Com'è finito all'Università dell'East Anglia ad insegnare l'Aritmetica dell'Infinito?

Nel 2009 mi è stato offerto un contratto di insegnamento all'Università di East Anglia  (Norwich). Il mio contratto iniziale sarebbe durato due anni, ma ho avuto la fortuna di conseguire, prima del suo termine, una posizione a tempo indeterminato nella stessa istituzione.

Dal mio primo incarico ho goduto della più completa libertà per sviluppare i temi dei miei corsi. Sono anzi stato incoraggiato a dar loro un taglio interdisciplinare. A partire dal prossimo anno accademico, sarò coinvolto in un corso che esplora i legami tra la filosofia ed un ampio spettro di discipline scientifiche. Nella parte di questo corso dedicata alle relazioni tra filosofia e matematica avrò modo di introdurre l'Aritmetica dell'Infinito nel contesto di una discussione più ampia sulla storia dei concetti di continuo e discreto, a partire dalla filosofia greca.

In generale, gli studenti dell'ultimo anno di scuola superiore studiano i limiti e trovano che l'algebra dei limiti sia piuttosto controintuitiva. Non a caso molti non riescono a comprenderla. Secondo lei, quali sono i principali motivi che rendono l'argomento così complesso?

Prima di trovarsi di fronte al concetto di limite, gli studenti hanno per lo più esperienza di operazioni che coinvolgono un numero finito di argomenti e che sono totali, cioè definite per qualsiasi scelta di argomenti, come l'addizione e la moltiplicazione. In questi casi, inoltre, è possibile eseguire operazioni meccanicamente, senza fare alcun appello alla loro definizione.

Al contrario, pur restringendo l'attenzione alle successioni, l'operazione di passaggio al limite non coinvolge un numero finito di argomenti, non è totale (certe successioni non convergono) e richiede, quando si voglia effettivamente valutare un limite, un appello esplicito alla definizione di quel concetto.

In sostanza, posti di fronte ai limiti, gli studenti hanno a che fare con un nuovo tipo di oggetto e con un nuovo modo di ragionare per determinare valori numerici, quando ciò sia possibile. Analoghi problemi sorgono in relazione ai limiti funzionali. Saper usare l'algebra dei limiti vuol dire aver chiaro che cosa siano i limiti e in che modo si possano effettuare operazioni aritmetiche su di essi. Raggiungere un tale grado di chiarezza può richiedere uno sforzo di comprensione notevole da parte degli studenti, che non possono di solito riferirsi a conoscenze già acquisite attraverso cui assimilare più facilmente la nuova nozione loro presentata.

Quali sono invece i più importanti vantaggi che si ottengono se si utilizza questo nuovo metodo per trattare quantità infinite e infinitesime?

La metodologia computazionale ideata dal Prof. Sergeyev permette di introdurre operazioni con un numero infinito di argomenti, in un modo che presenta molti punti di continuità con il caso finito, al contrario della presentazione classica dei limiti. Il nuovo metodo suggerisce di fissare l'attenzione su procedure che giungono ad un termine e di cui si può specificare la lunghezza, finita o infinita che sia.

L'unità di misura dell'infinito

Nel caso delle successioni, se esiste un'espressione che determina la forma del termine n-esimo ed esiste un modo di specificare la lunghezza infinita di una successione (usando il simbolo numerico , l'unità infinita chiamata "grossone" da Sergeyev), allora è possibile scrivere esplicitamente l'ultimo termine di questa successione.

Ad esempio, la successione il cui termine n-esimo è 1/n e che ha lunghezza grossone possiede un ultimo termine infinitesimo, vale a dire 1/, di cui il limite della successione, cioè 0, si può considerare una stima finita. All'algebra dei limiti sulle successioni si sostituisce in questo caso l'aritmetica dei loro punti terminali per una lunghezza infinita fissata.

In quest'ottica, l'operazione di passaggio al limite su una successione si può vedere come una tecnica, non sempre applicabile, che permette di ottenere stime finite dell'ultimo termine di una successione di lunghezza infinita fissata. Il ricorso ai limiti non viene escluso, ma si subordina ormai all'idea di un processo infinito la cui terminazione risulta esprimibile. Considerazioni analoghe si possono svolgere rispetto al concetto di limite funzionale, ma è meno facile esporle in breve.

Come si può misurare l'infinito?

Si può porre il problema di misurare l'infinito a partire dal primo postulato della metodologia computazionale ideata dal Prof. Sergeyev. Secondo questo postulato, esistono enti infiniti ma le nostre capacità di studiarli non possono offrirne una descrizione esaustiva, poiché noi possiamo disporre soltanto di una quantità finita di risorse per studiarli.

Nondimeno, con ciò siamo pure in grado di raffinare ed ampliare le nostre risorse, introducendo per esempio sistemi numerali che ci permettano di esprimere certe caratteristiche di enti infiniti come l'insieme {1, 2, 3, …} dei numeri naturali, ad esempio la sua "lunghezza", qualora lo si consideri come una successione infinitamente lunga. In questo modo siamo in grado di misurare l'infinito nel senso che abbiamo risorse concettuali secondo cui certe caratteristiche di enti infiniti diventano esprimibili e soggette ad un trattamento matematico.

Questo trattamento non si limita tuttavia all'esprimibilità di misure. Il Prof. Sergeyev ha mostrato in che modo il suo sistema numerale possa condurre ad un notevole ampliamento sia delle nostre capacità di eseguire computazioni (nel suo sistema si può ad esempio calcolare la somma di tutti i numeri naturali) sia del nostro modo di studiare oggetti classici come il campo reale (l'ipotesi del continuo riceve una soluzione molto semplice dal punto di vista dell'Aritmetica dell'Infinito), sia, infine, ad un'espansione della nostre capacità di costruire modelli matematici (ad esempio, introducendo distribuzioni uniformi su spazi campionari infiniti, in cui i singoli punti dello spazio hanno tutti la stessa probabilità infinitesima).

Nella conferenza del 5 luglio 2016 lei presenterà anche alcuni paradossi riguardanti l'infinito. Può descriverne qualcuno per i nostri lettori?

Uno di questi paradossi, formulato nel contesto della teoria della decisione, riguarda il risultato di una successione infinita di decisioni.

Immaginiamo data una riserva infinita di banconote da 5 Euro, tante quanti sono i numeri naturali. Possiamo inoltre pensare che i simboli numerici (1, 2, 3, …) , espressi in notazione decimale, siano impressi sulle banconote, e che queste siano ordinate secondo il simbolo numerico che vi compare.

Ad un giocatore si potrebbe ora proporre di scegliere ripetutamente una tra le seguenti azioni:

- A: che restituisca le banconote in suo possesso e riceva quelle numerate da 1 a 100;

- B: che restituisca le banconote in suo possesso e, se ha già effettuato n decisioni, che riceva le banconote numerate da 100n + 1 a 100(n+1) (così, ad esempio, se 2 decisioni sono già state effettuate, le banconote assegnate alla terza decisione sono quelle dalla 201 alla 300).

Qualora un numero finito di decisioni fosse richiesto, scegliere sempre A o scegliere sempre B conduce al medesimo risultato, vale a dire un guadagno netto di 500 Euro. Sembrerebbe quindi irragionevole preferire un'alternative all'altra.

Tuttavia, se si effettuasse una successione infinita di decisioni, si potrebbe concludere che la scelta costante di A conduca ad un guadagno netto di 500 Euro, mentre la scelta costante di B sembrerebbe condurre ad un guadagno nullo. Questa conclusione dipende dal fatto che, per ogni banconota numerata, esiste un'iterazione di B dopo la quale quella banconota viene restituita. Ne segue che ogni banconota numerata dev'essere stata restituita dopo un numero infinito di decisioni. Quindi B sembrerebbe una strategia inferiore ad A, all'infinito, sebbene esse siano equivalenti nel finito.

L'Aritmetica dell'Infinito permette di risolvere questo problema orientando l'attenzione sul fatto che restituire tutte le banconote numerate non vuol dire necessariamente restituire tutte le banconote, ma soltanto quelle che il nostro sistema numerale ci permette di etichettare. A questa osservazione si può aggiungere il fatto che, utilizzando il grossone, è possibile specificare il numero, infinitamente grande, di decisioni compiute fino all'esaurimento delle banconote: questo numero è /100. Dopo /100 decisioni, il giocatore che abbia scelto A ad ogni passo si trova in possesso di 500 Euro in 100 banconote etichettate dai simboli numerici (1, …, 100). Il giocatore che abbia scelto B ad ogni passo si trova pure in possesso della stessa somma di denaro, ma le banconote ricevute all'ultima decisione non sono più etichettate da alcun simbolo numerico esprimibile nell'usuale notazione decimale. Esse sono invece le 100 banconote che, nel sistema numerale del Prof Sergeyev, si possono etichettare usando i numeri da  – 99 a .

La differenza tra A e B all'infinito dipende soltanto da una lacuna dovuta al fatto che, a meno di introdurre l'Aritmetica dell'Infinito, noi non abbiamo sufficienti informazioni per poter descrivere il risultato di una successione infinita di decisioni. Il paradosso nasce dall'identificazione di questa lacuna con una caratteristica intrinseca del processo di decisione.

Walter Caputo