giovedì 25 marzo 2010

LA FISICA DELL'INFINITO



Siamo spesso bombardati da informazioni inutili, che però ci vengono presentate come importanti, e altrettanto frequentemente non ci accorgiamo di vere e proprie rivoluzioni, che purtroppo vengono trascurate dai mass-media. Grazie a Gravità Zero ho saputo dell’uscita della nuova edizione di Newton, rivista di divulgazione scientifica ad ampio spettro.

Una volta acquistata, ho cominciato a sfogliarla proprio mentre mi trovavo in una scuola in cui insegno, durante un’ora buca. Non ho letto alcun articolo, finché non sono giunto alle ultimissime pagine della rivista, quando il mio sguardo è stato letteralmente inchiodato sulla carta da un articolo di Gabriele Lolli, docente di Filosofia della Matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa: “Infinito, un concetto finito”.


Ho subito pensato ai miei studenti, e a quanta fatica fanno per apprendere il concetto di infinito e tutte le particolari regole che ne disciplinano l’utilizzo. E questo è un motivo per il quale alcuni giungono poi ad odiare la matematica (per una discussione sul tema si veda la pagina Facebook). Mi è anche venuta in mente tutta la mia fatica per inventare modi metaforici e divertenti al fine di spiegare tutta la parte di Analisi Matematica Standard che riguarda i limiti.Vuoi vedere che qualcuno ha trovato il modo di semplificare l’infinito?mi sono chiesto. I miei pensieri sono subito volati verso quella che viene definita Analisi Matematica Non Standard (di cui ho parlato in IL FANTOMATICO “R” STAR E LA RINASCITA DEGLI INFINITESIMI), ovvero l’analisi matematica che è riuscita a trascinare dentro l’insieme dei numeri reali dei “soggetti” molto particolari come gli infiniti e gli infinitesimi, che ne sono sempre stati alla larga, proprio perché intrinsecamente diversi dagli altri numeri.



Riuscire a semplificare l’infinito rappresenta senza dubbio una rivoluzione. E Yaroslav D. Sergeyev ha elaborato un’interessante teoria per raggiungere tale nobile fine. Ma cosa c’entra la Fisica? C’entra eccome, perché Sergeyev, matematico russo e professore ordinario di Analisi Numerica presso il Dipartimento di Elettronica, Informatica e Sistemistica dell’Università della Calabria, ha utilizzato l’approccio tipico dei fisici per rinnovare gli strumenti di osservazione del matematico. Mi spiego meglio. Tutti sanno che i fisici osservano la realtà e ne traggono informazioni tramite determinati strumenti: migliori sono gli strumenti, maggiore sarà l’informazione che si potrà ottenere. Gli strumenti dei matematici sono rappresentati soprattutto dai simboli, e allora perché non modificare i simboli?


A tal proposito, secondo Sergeyev “le nostre difficoltà a lavorare con l’infinito non sono legate alla natura dell’infinito ma all’utilizzo, per scrivere i numeri, di un linguaggio matematico inadeguato”. Il matematico russo aggiunge che “noi accettiamo che possiamo eseguire solo un numero finito di operazioni” e “seguendo l’approccio naturalistico dei fisici, non ci avventureremo nel dire che cosa sono gli oggetti matematici ma costruiremo degli strumenti (nel nostro caso – un nuovo sistema numerale) che ci permetteranno di migliorare le nostre capacità di osservare e descrivere gli oggetti matematici”. Riepilogando: sono evidenti le difficoltà di molti (sia delle persone, che delle calcolatrici ed anche dei computer) a trattare gli infiniti; non è certo semplice dire che cosa sia un infinito, ma se adottiamo un nuovo simbolo per definirlo, possiamo utilizzare l’algebra dei numeri finiti per trattare gli infiniti e giungere, in questo modo, ad un calcolo più semplice, efficiente ed “automatizzabile” degli infiniti.


Il nuovo simbolo è : esso rappresenta il “grossone”, ovvero un numero maggiore di qualsiasi numero naturale finito. Insomma, il grossone è un numero grosso, anzi è il più grosso di tutti. Con le testuali parole di Sergeyev:

"Il grossone è un numero e, quindi, si comporta con i numeri 0 e 1 come tutti gli altri numeri"

0 · = 0, · 0 = 0, - = 0,

: =1, 0=1, 1=1.


Quella sopra descritta è una rivoluzione. Perché, come dice espressamente l’autore, ora non ci si fermerà più di fronte a quantità infinite o infinitesime o a quantità indeterminate, ma si potrà proseguire nei calcoli.


E a proposito di forme indeterminate dei limiti, che tanto impegnano gli studenti, ora le si potrà risolvere in modo molto più semplice. Tali forme, dette anche “forme di indecisione” sono risultati non determinati e praticamente inutilizzabili.

Tramite l’Analisi Matematica Standard, in generale occorre ricorrere a manipolazioni algebriche più o meno sofisticate o addirittura all’applicazione di teoremi per poter ottenere un risultato determinato da una forma indeterminata. Facciamo qualche esempio. Se, calcolando un limite, giungo alla forma 0 ∙ ∞ il risultato non è zero, ma è una forma indeterminata, cioè in pratica non si può dire quale sia il risultato.

E occorre manipolare algebricamente l’espressione iniziale o sottoporla all’applicazione di un opportuno teorema per ottenere un risultato determinato.

Tramite i simboli di Sergeyev, invece l’espressione 0 ∙ ∞ diventa 0 · , dalla quale si ottiene immediatamente un risultato determinato, esattamente pari a zero. In maniera analoga la forma indeterminata ∞ - ∞ diventa - = 0; ∞ / ∞ diventa : =1; ∞0 diventa

0=1; 1 diventa 1=1.


Semplice, no? In realtà, Gabriele Lolli afferma che è vero che si può affermare con sicurezza che non vi sono contraddizioni nel calcolo del grossone e che la teoria in oggetto è già in corso di sfruttamento da parte di aziende, ma è anche vero che la proposta di Sergeyev non è completa.


Il matematico russo non intende volutamente limitarla tramite un’impostazione assiomatica completa, ma “preferisce dare un insieme di regole generali per eseguire i calcoli, lasciando la porta aperta a sviluppi o modifiche suggerite dall’uso”.


7 commenti:

paopasc ha detto...

Mi sembra un ottimo esempio di creatività all'opera e anche se non viene da qualcuno al di fuori del mondo matematico, viene grazie a un modo di pensare diverso dal solito, come dice l'autore, pensando da fisico. Forse sarà una banalità ma è il famoso modo di operare per analogie, che pur dovendo adottarsi con tutte le cautele, libera alle volte dalle secche di sentieri fin troppo definiti. Interessante.

Walter Caputo ha detto...

Hai detto bene Paopasc,
il lavoro di Sergeyev è decisamente interessante, soprattutto perchè è volto a semplificare ed automatizzare. Ora sto entrando più nei dettagli e spero di scrivere presto un secondo pezzo sul tema. Intanto ti segnalo questo spettacolare evento: http://www.grossone.com/Infinity2010/.

Michele Filannino ha detto...

I tentativi di semplificare la matematica, in generale vanno sempre tutti premiati.

Il grossone, tuttavia, mi lascia perplesso. Ricordo ancora con affetto le lezioni di Analisi 1 nella quale la prof.ssa Cerami diceva "attenzione che infinito non è un numero" infatti scriveva:

3 + inf = inf -> 3=0?

Bisognerebbe chiarire che anche il grossone è un numero particolare, ma in questo caso... verrebbe meno il senso del lavoro del prof. Sergeyev.

Non so, io penso che la probabilità che induca in errore, è maggiore di quella che possa aiutare la comprensione.

Saluti.

Walter Caputo ha detto...

Carissimo Michele,
come ho detto a Paopasc, proprio al fine di eliminare i dubbi e scoprire la vera natura del grossone, sto lavorando alla sua applicazione ai limiti di funzioni che generano forme indeterminate. Spero presto di poter pubblicare delle news.

Anonimo ha detto...

Il sig. Caputo ha scritto:

"Tramite i simboli di Sergeyev, invece l’espressione 0 ∙ ∞ diventa 0 · , dalla quale si ottiene immediatamente un risultato determinato, esattamente pari a zero."

Quando il calcolo di un limite produce una forma indeterminata bisogna eseguire ulteriori calcoli per scoprire il valore a cui realmente tende e questo valore dipende dal caso in questione; a volte può essere 0 altre volte un numero come 4 o 127, insomma dipende caso per caso. Secondo questo metodo invece il valore è sempre lo stesso, ad esempio tutte le forme indeterminate del tipo 0 ∙ ∞ vengono sempre risolte nel valore 0 indipendentemente dal caso in questione. Vi pare sensato?

Massimo Auci ha detto...

Direi che stiamo parlando di due cose differenti. L'infinito e un concetto e basta e come tale non è un numero. Il "grossone" è incece un numero in piena regola, perché è pensato come un numero grande, quindi un numero che segue le proprietà di gruppo delle operazioni somma e prodotto nei vari insiemi numerici. L'infinito invece è un concetto non trattabile senza la teoria dei limiti, tanto è vero che le forme indeterminate infinito/infinito non hanno nulla a che vedere nel loro sviluppo numerico nella teoria dei limiti con le forme (0 x grossone = 0). Direi di andare con i piedi di piombo nell'affermare che grossone/grossone = 1. Il grossone mi sembra più che altro un'approssimazione, un "troncamento" del concetto di infinito.

Walter Caputo ha detto...

Gentilissimo Anonimo,
ha equivocato una mia affermazione: è evidente che non mi sono espresso, nell'articolo
in oggetto, con la dovuta chiarezza. Ma ho rimediato nell'articolo "A cosa serve l'infinito?"
Se lo legge, troverà il calcolo dei limiti sia con il metodo tradizionale, che con quello
del Prof. Sergeyev. A quel punto la differenza dovrebbe risultare evidente (spero...)

Gentilissimo Dott. Auci,
ha in parte centrato la questione, sull'inquadramento del grossone, ma le consiglio comunque di leggere "A cosa serve l'infinito?". D'altronde anch'io sto studiando il metodo del Prof. Sergeyev e, per ora ho scritto solo 4 articoli sul tema, ma spero di chiarire ancora meglio la "Nuova Matematica" prossimamente.

Grazie ad entrambi per il vostro intervento. Il progresso della scienza si basa sulla collaborazione.