domenica 7 giugno 2009

LA PROBABILITA’ DI SUCCESSO

Siete interessati al successo? Intendo "successo" nel suo significato più ampio: non si tratta solo di aspirare a scrivere un romanzo per venderne cinque milioni di copie o vincere un concorso televisivo, ma anche semplicemente riuscire ad ottenere un lavoro (se siete disoccupati) o un aumento di stipendio (se siete occupati). Questi sono solo pochissimi esempi di applicazione del calcolo delle probabilità, che in realtà è una disciplina scientifica il cui utilizzo è incredibilmente ampio. Nelle righe seguenti, al di là degli esempi che utilizzerò per spiegarvi il meccanismo di calcolo, cercate quindi di cogliere in quali casi è matematicamente legittimo applicare la probabilità di successo, e poi divertitevi nel calcolo e verificate se i risultati corrispondono a ciò che, ragionevolmente, vi attendevate.

Definisco innanzitutto i simboli che utilizzerò:

P = probabilità;
X = numero di prove necessarie per ottenere il primo successo;
n = l’esito richiesto della variabile aleatoria geometrica X prima definita. Una variabile aleatoria, in parole povere, è un oggetto matematico che può assumere diversi esiti. Non scoraggiatevi per i termini tecnici, poiché ciò che importa è comprendere la sostanza della formula, al di là del nome, più o meno complicato, che è stato attribuito alla formula stessa. Gli esempi successivi vi aiuteranno in tal senso;
p = probabilità di successo della singola prova. Tale probabilità deve essere compresa tra zero e uno esclusi gli estremi: non ci interessa p = 0 poiché rappresenta l’evento impossibile (il successo non è comunque raggiungibile, dunque non ha senso calcolare la probabilità di successo), né p = 1 poiché rappresenta l’evento certo (se il successo è certo perché mai dovremmo calcolarne la probabilità?).

Fornisco quindi il metodo di calcolo della probabilità di successo:

P(X = n) = [(1 – p)^(n – 1)] · p

Con tale sequenza di simboli intendo affermare che la probabilità che il numero di prove da effettuare prima di ottenere un successo sia pari ad "n" è uguale ad uno meno la probabilità di successo nella singola prova elevato ad "n – 1", il tutto moltiplicato per "p" (cioè la probabilità di successo nella singola prova). Evidenzio, a titolo di maggior chiarezza, che "n" può essere solo un numero naturale, cioè un intero positivo, ad esempio 3 o 4 o 5, non certo 4,3 o 4,8.

La formula sopra descritta è la funzione di densità discreta della variabile aleatoria geometrica. Ci dice, in buona sostanza, qual è la probabilità che, fatti "n" tentativi vani, il prossimo tentativo sia finalmente coronato dal successo. La funzione di densità discreta in oggetto viene descritta tramite un solo parametro, che è "p": ciò implica che l’unica informazione che dobbiamo introdurre nella formula è la probabilità di successo nella singola prova (fermo restando che dobbiamo attribuire un valore ad "n").

Caro lettore, a questo punto ti fornisco immediatamente un esempio applicativo. Immaginiamo (sperando che non sia vero) che tu sia attualmente disoccupato. Stai cercando lavoro e, avendo già fatto numerosi tentativi, ti stai chiedendo quando riuscirai a trovarlo. Quanto stimi che possa essere la tua probabilità di essere assunto al primo colloquio ? Immaginiamo che tale probabilità sia, ad esempio, il 55%, poiché sei laureato ed hai anche già maturato alcuni anni di esperienze lavorative. Quindi p = 0,55. Naturalmente la stima di questa probabilità è il punto più delicato di tutta la formula che intendiamo applicare, poiché si tratta dell’unico input, di natura incerta, da introdurre nel meccanismo per ottenere la probabilità di successo. Quanto più è affidabile "p", tanto più sarà affidabile "P", cioè la probabilità di successo, di conseguenza, se trovi dei dati a supporto della tua stima, il risultato finale sarà più attendibile. Ad esempio se fossero passati quasi tre anni dal giorno in cui ti sei laureato in statistica, potresti cercare dei dati del tipo: a tre anni dalla laurea, ogni 100 laureati in statistica trovano lavoro in 65.

Ammettiamo poi che la tua pazienza abbia un limite: riesci a sopportare al massimo 5 colloqui, dopodiché tendi a scoraggiarti e a pensare che non riuscirai mai a trovare lavoro.

Riepiloghiamo insieme i dati:

X = numero di colloqui necessari per ottenere un’assunzione;
n = 5;
p = 0,55.
Calcoliamo la tua probabilità di successo, cioè la probabilità che, dopo 5 colloqui, tu riesca ad essere assunto:
P(X = 5) = [(1 – 0,55)^(5 – 1)] · 0,55 = 0,0225

Se moltiplichiamo il risultato ottenuto per 100, otteniamo la probabilità del 2,25% (= 0,0225 x 100). La probabilità ottenuta è un po’ piccola, e allora cosa dovresti fare per migliorarla ? Proviamo a calcolarla per n = 1,2,3,4 e 5 colloqui e verifichiamo il suo andamento, considerando costante (e pari a 0,55) la tua probabilità di successo nella singola prova.

P(X = 1) = [(1 – 0,55)^(1 – 1)] · 0,55 = 0,55 x 100 = 55%
P(X = 2) = [(1 – 0,55)^(2 – 1)] · 0,55 = 0,24 x 100 = 24%
P(X = 3) = [(1 – 0,55)^(3 – 1)] · 0,55 = 0,11 x 100 = 11%
P(X = 4) = [(1 – 0,55)^(4 – 1)] · 0,55 = 0,05 x 100 = 5%
P(X = 5) = [(1 – 0,55)^(5 – 1)] · 0,55 = 0,02 x 100 = 2%

Ti aspettavi un andamento decrescente (dal 55% al 2%) della probabilità di successo al crescere del numero dei tentativi (da 1 a 5)? Credo di no, poiché si tratta di un risultato controintuitivo: normalmente tendiamo a pensare che più colloqui si fanno più è facile trovare lavoro. Tuttavia, se analizziamo la formula utilizzata più da vicino, scopriamo che, affinché l’ennesima prova sia un successo, le precedenti "n – 1" prove devono essere state tutte degli insuccessi. Quindi, nella formula compare prima il fattore (1 – p), che è la probabilità di insuccesso (nel tuo caso: 1 – 0,55 = 0,45) e poi "p", che è la probabilità di successo (0,55).

Il problema è che, dato che le prove vengono considerate fra di loro indipendenti, se si effettuano numerose prove occorre moltiplicare fra di loro le singole probabilità: ciò implica che, più colloqui faccio, più volte moltiplico la probabilità di insuccesso (moltiplicare più volte equivale ad elevare ad esponente pari al numero di volte per cui si moltiplica) e più peggioro la situazione. Infatti, con 5 colloqui, arrivo ad elevare 0,45 alla quarta (mentre invece la probabilità di successo è sempre elevata soltanto ad 1). Da qui risulta evidente che la massima probabilità di successo si ottiene dopo solo un colloquio, ed è pari al 55%, cioè alla probabilità di successo della singola prova.

Se ti può consolare, aggiungo che se la tua probabilità di successo della singola prova fosse 95%, comunque la massima probabilità di successo risulta in corrispondenza di un solo colloquio, ed è pari al 95% e, se i colloqui aumentano, tale probabilità tenderà inesorabilmente a diminuire.

Cosa ci insegna quindi il calcolo delle probabilità? Più colloqui facciamo, e più diventiamo "esperti di colloqui": la nostra probabilità di assunzione tende a crescere. Tuttavia è anche vero che più colloqui facciamo (senza risultati positivi), più ci scoraggiamo e quindi la nostra probabilità di assunzione tende a diminuire. Posto che comunque la probabilità di successo diminuisce al crescere dei tentativi falliti, ciò implica che l’effetto scoraggiamento è decisamente maggiore dell’effetto apprendimento.

Ora che lo sapete, non scoraggiatevi, non smettete mai di studiare, non dimenticatevi che là fuori esiste un sacco di conoscenza, così tanta che supera la durata della vostra vita. E allora non perdete tempo; scusate se termino qui ma vado a sdraiarmi sul divano a leggere un buon libro di matematica.

7 commenti:

peter stevens ha detto...

Vi seguo da alcuni mesi; intervengo perché ho qualche dubbio su alcuni punti.

In che senso la probabilità di successo dovrebbe diminuire all'aumentare del numero dei tentativi? Non è sempre del 55% ad ogni tentativo?

Quella che è stata calcolata è la probabilità di avere successo all'n-esimo tentativo per la prima volta; questa è ovvio che diminuisca, perché è molto improbabile che io non ottenga successi dopo molti tentativi.

Altrimenti è come sostenere che se punto su un numero al lotto, andando avanti con le estrazioni, ho sempre meno probabilità di vincere.

P.S.: ottimo blog, davvero interessante, continuate così.

Walter Caputo ha detto...

Carissimo Peter,
la probabilità di successo nella singola prova è costante (55%), ma la probabilità di ottenere il primo successo dopo "n" insuccessi dinimuisce all'aumentare dei tentativi falliti, poichè è, in un certo senso, il prodotto di molti fallimenti (moltiplicando fra loro numeri minori di uno ottengo numeri sempre più piccoli). Attenzione: fare tanti tentativi non garantisce il successo. Il numero estratto dall'urna è casuale, per cui io potrei fare un miliardo di puntate al lotto e non vincere mai, come potrei benissimo farne una soltanto e vincere un sacco di soldi. In ogni caso al lotto non è applicabile la variabile casuale geometrica poichè gli esiti possibili sono 90 (tutti i numeri). Tale variabile aleatoria (la probabilità di successo spiegata nell'articolo) è applicabile solo quando esistono 2 esiti possibili: successo o insuccesso (assunto o non assunto). Grazie per il tuo intervento, che mi ha consentito di spiegare meglio.
Walter

littlemes3 ha detto...

Ciao. La probabilità calcolata è la probabilità di fallire n-1 volte e avere un successo 1 volta mentre l'esempio sul colloquio di lavoro non è secondo me calzante, nel senso che implica una sequenzialità di colloqui andati male e l'ultimo colloquio andato bene. Se invece facciamo l'esempio di 5 colloqui tenuti contemporaneamente e il cui esito ci giunge contemporaneamente il discorso cambia e diventa piu' intuitivo.
Mi spiego: se a me interessa essere assunto la vera probabilità di essere assunto nei 5 colloqui e' la probabilità di avere *almeno* un successo nei 5. Percio' e' la probabilità di essere assunto in tutti e 5 i colloqui, piu' quella di essere assunta a 4, piu' quella a 3, piu' quella a 2 e piu' quella a uno.
Oppure è 1 - la probabilità di avere 5 insuccessi, in questo caso 0.45^5 = 0.018. Quindi in totale ho lo circa il 98% di probabilità di essere assunto.
Ho sbagliato qualcosa in questo ragionamento?
Ciao

Walter Caputo ha detto...

Carissimo Littlemes3,
il tuo ragionamento è corretto. Si tratta di due diversi tipi di richieste al calcolo della probabilità. La tua ipotesi è ben sviluppata, e mi sembra che tu possieda buone conoscenze in materia. Grazie per il tuo intervento !!!
Ciao.
Walter

Domenico ha detto...

Ciao.Nel film "Una mente brillante" il protagonista,il famoso matematico,afferma:"Non e' il caso che vi ricordi che ad ogni tentativo le probabilita' di successo aumentano drammaticamente".Non e' davvero mia intenzione avventurarmi in argomentazioni tecniche,volevo solo dirti che la frase mi ha affascinato moltissimo(intuitivamente) e secondo me ha straordinarie applicazioni nella vita pratica.Tu cosa ne pensi?

Walter Caputo ha detto...

Carissimo Domenico,
senza entrare in dettagli tecnici, l'affermazione del film è vera ed è decisamente incoraggiante per andare avanti nella vita (soprattutto per realizzare i propri sogni), solo se consideriamo i singoli tentativi non indipendenti (cioè dipendenti uno dall'altro). Ciò si verifica se, al termine di un tentativo fallito, cerchiamo di colmare le nostre lacune, in modo che al successivo tentativo la singola probabilità di successo è già più grande perché abbiamo incrementato le nostre conoscenze. Detto questo, aggiungo che un po' di fortuna non guasta mai (ma purtroppo la fortuna non entra dentro la statistica). Ciao e grazie ancora del tuo commento.
Walter

Anonimo ha detto...

ragioniamo insieme:
sia p la probabilità di essere assunti ad un colloquio,
la possibilità di non essere assunti sarà dunque
s=1-p.
Vediamo ora la probabilità che dopo n colloqui nessuno sia andato a buon fine (ulizziamo dunque il teorema della probabilità composta per eventi stocasticamente indipendenti):
La probabilità che dopo n colloqui nessuno sia andato a buon fine (assumento per ipotesi che la probabilità di successo di ciascuno sia costante) è
s(n)=(1-p)^n.
Dunque la probabilità che almeno uno degli n colloqui sia andato a buon fine sarà
p(n)=1-(1-p)^n
evidentemente
tale funzione ha come limite per n che tende all'infinito l'unità, ovvero la certezza dell'evento.
Esempio se p=0.55
n=1 => p=0.55
n=2 => p=0.79
n=3 => p=0.90
n=4 => p=0.95
n=5 => p=0.98.
Si conclude che se p=0.55 dopo 5 tentativi si ha circa il 98% di probabilità di essere assunti in almeno un colloquio.
Nik.