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RIGIRARE UNA SFERA COME UN CALZINO: UN PROBLEMA CHE VALE UNA MEDAGLIA FIELDS


Secondo voi, è possibile rigirare una sfera “come se fosse un calzino”, dopo averla deformata a piacere, ma senza effettuare "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature"?

Lo studio della topologia mi ha sempre affascinata, fin da ragazzina! E questo esperimento controintuitivo è uno dei primi che ricordo mi affascinò anni fa, e lo fa tuttora.

L'immagine qui in alto mostra una fase del processo attraverso cui una sfera può venire rigirata come un calzino. Ma mentre un calzino ha dei bordi attorno ai quali può venire operata questa trasformazione, rigirare una sfera senza tagliarne o bucarne la superficie sembra a prima vista impossibile.

Il problema, chiamato anche eversione della sfera, è stato affrontato e risolto nel 1957 da Steve Smale con gli strumenti concettuali della geometria differenziale, quella parte della geometria cioè che ha come studio le trasformazioni differenziabili, ovvero le trasformazioni che non presentano discontinuità o singolarità, come buchi, pieghe o cuspidi.

Le immagini nella foto mostrano alcune fasi della trasformazione della sfera, che attraverso successive estroflessioni e corrugamenti dalla sua superficie esterna (color oro) passa a presentare quella interna (color rosso bordeaux).

Le immagini sono tratte da Outside In, che potete vedere qui di seguito, un video didattico (quello completo è della durata di 20 minuti circa e lo trovate su Google Video) sulla scoperta di Steve Smale prodotto da un gruppo di tecnici e ricercatori del Geometry Center dell'Università del Minnesota diretto da Silvio Levy, Delle Maxwell e Tamara Munzner.

Se avete tempo, consiglio di guardare il filmato integrale [qui]: oltre che una animazione di grande qualità grafica, è anche un ottimo esempio di come si può fare didattica e divulgazione pur trattando temi complessi come l’astrazione geometrica.






L’animazione è stata realizzata fondendo le possibilità di numerosi programmi di grafica 3D: RenderMan, Softimage, Mathematica, Geomview e Perl.

Mi farebbe piacere sapere cosa ne pensate…


LINK

http://www.geom.uiuc.edu/docs/outreach/oi/moregraphics.html

http://mathworld.wolfram.com/SphereEversion.html



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4 commenti

Pietro ha detto...

Attenzione, l'introduzione, ma senza effettuare "strappi", "sovrapposizioni" o "incollature"?, è nel migliore dei casi fuorviante. Immagino che per "sovrapposizione" intendiate "incollamenti di un pezzo di una superficie su un altro", ma così sembra si intenda la compenetrazione di due pezzi di superficie, che invece è una cosa consentita (altrimenti veramente l'eversione della sfera andrebbe troppo contro l'intuizione!)

Già che ci sono: possibile che nel blog non ci sia un modo per contattarvi (o sono orbo io?!)

Pietro Battiston

Pietro ha detto...

P.S: a parte questo, complimenti per l'intrigante blog.

Rashmi Sen ha detto...

Grazie, Pietro, per la tua precisazione.

Quello che dici è corretto, come si può anche vedere nel filmato, che spiega proprio quello che tu scrivi.

Avrei potuto dire in una parola "omeomorfismo"... ma ho voluto rendere in lingua italiana una immagine di una superficie che puo' essere deformata in un'altra senza, appunto, strappi.

Purtroppo sono di lingua-madre hindi e inglese, e scrivo l'italiano solo come terza lingua.

Cerco di chiedere sempre aiuto ai miei amici italiani se sono in dubbio su un termine... ma a volte potra' scappare qualche imprecisione, dunque grazie per i vostri commenti.

Rashmi

Austinn Carrara ha detto...

Ciao Pietro,
puoi scriverci a gravitazeroblog@gmail.com

La email di redazione forse non e' molto visibile: al momento e' sotto le nostre foto e la voce
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