sabato 7 novembre 2009

UN VECCHIO ESPERIMENTO MENTALE DELLA MECCANICA QUANTISTICA: RICHARD FEYNMAN E IL CALCOLO DELLE PROBABILITA’

Nel 1960 il fisico americano Premio Nobel Richard Feynman descrisse tre “esperimenti mentali”, che ormai fanno parte della storia della meccanica quantistica. Tali esperimenti consistono nel “bombardare” una parete dotata di due fenditure apribili a piacere, sul retro della quale viene posta un’ulteriore parete compatta dotata di un rilevatore di particelle. Il bombardamento viene effettuato tramite:
- pallottole, nel 1^ esperimento;
- onde d’acqua, nel 2^ esperimento;
- elettroni, nel 3^ esperimento.

Lo studio statistico di tali rappresentazioni mentali, che si intende condurre nel presente articolo, consente di comprendere alcuni principi cardine del calcolo delle probabilità, molto più facilmente che non attraverso una pura trattazione teorico-assiomatica.

Nel primo esperimento – nel quale viene utilizzata una mitragliatrice per sparare pallottole – se si lascia aperta soltanto la fenditura n. 1, è possibile “vedere” dove si addensano i proiettili e quindi determinare la probabilità dell’evento n. 1 [da qui in avanti P(evento 1)], definita come la probabilità che i proiettili, superata la fenditura n. 1, colpiscano la parete successiva dotata del rilevatore di particelle. Se invece si lascia aperta soltanto la fenditura n. 2, in maniera analoga è possibile determinare P(evento 2), ovvero la probabilità che i proiettili, superata la fenditura n. 2, colpiscano la parete successiva.

Se si lasciano aperte entrambe le fenditure, è possibile determinare P(evento 1 U evento 2), cioè la probabilità dell’unione dell’evento 1 (apertura della fenditura n.1) e dell’evento 2 (apertura della fenditura n. 2). Dato che le pallottole che transitano dalla fenditura n. 1 non interferiscono con quelle che – contemporaneamente – transitano dalla fenditura n. 2, vale

P(evento 1 U evento 2) = P(evento 1) + P(evento 2)

cioè la probabilità dell’unione fra due eventi è pari alla somma della probabilità che si verifichi l’evento 1 e della probabilità che si verifichi l’evento 2. Ciò corrisponde ad una situazione (insiemistica) nella quale gli eventi 1 e 2 vengono rappresentati da due insiemi disgiunti, nel senso che non possiedono parti sovrapposte. In termini statistici si dice che non esiste intersezione (infatti non esiste interferenza) fra l’evento 1 e l’evento 2. Non esistendo intersezione, la probabilità dell’intersezione è zero. In questo modo si perviene all’enunciazione corretta del cosiddetto principio della probabilità totale:

P(evento 1 U evento 2) = P(evento 1) + P(evento 2) – P(evento 1 ∩ evento 2)

vale a dire che la probabilità dell’unione fra due eventi è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi, meno la probabilità dell’intersezione fra i due eventi (se quest’ultima probabilità non venisse sottratta, calcolando la probabilità dell’unione si andrebbe a conteggiare due volte la zona di intersezione).

L’intersezione fra l’evento 1 e l’evento 2 diventa diversa da zero nei due successivi esperimenti mentali di Feynman con le doppie fenditure: quello in cui si sparano onde d’acqua e quello in cui si sparano elettroni. In questi due esperimenti, dato che esiste interferenza fra le onde d’acqua che transitano per la fenditura n. 1 e quelle che contemporaneamente transitano per la fenditura n. 2 – quando entrambe le fenditure sono aperte – (in maniera analoga ciò vale per gli elettroni), la probabilità dell’unione fra i due eventi sarà pari a :

P(evento 1 U evento 2) = P(evento 1) + P(evento 2) – P(evento 1 ∩ evento 2)

con

P(evento 1 ∩ evento 2) ≠ 0

e quindi con

P(evento 1 U evento 2) ≠ P(evento 1) + P(evento 2).

Ciò significa che la probabilità dell’unione non sarà pari alla somma delle singole probabilità. Da tale asserto consegue che gli elettroni, se viene aperta un’unica fenditura, possono essere rilevati da un rilevatore di particelle, e quindi si comportano appunto come “corpuscoli”. Gli eventi 1 e 2 sono dunque incompatibili: o si verifica il primo (se è aperta solo la fenditura 1) oppure si verifica il secondo (se è aperta solo la fenditura 2). In altre parole, il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo e viceversa. Inoltre l’evento 1 è caratterizzato solo da due esiti: o l’elettrone giunge alla seconda parete e quindi viene rilevato, oppure non vi giunge. Con terminologia statistica possiamo descrivere quanto appena detto con una variabile casuale discreta caratterizzata da due esiti, a ciascuno dei quali è associato un determinato livello di probabilità. Una seconda e simile variabile casuale caratterizza il viaggio degli elettroni tra la fenditura n. 2 e la parete successiva.

Se invece vengono aperte entrambe le fenditure gli elettroni si comportano come “onde”. La variabile casuale che descrive il viaggio degli elettroni che transitano contemporaneamente dalla fenditura 1 e 2 fino a raggiungere l’altra parete, è la risultante di più variabili casuali:
- una, che descrive il comportamento del primo fascio di elettroni;
- un’altra, che descrive il comportamento del secondo fascio;
- una terza, che descrive l’interferenza fra il comportamento del primo e quello del secondo fascio di elettroni.

Da qui il famoso dualismo “onda – particella”, tipico del mondo infinitamente piccolo della meccanica quantistica: ogni elettrone passa contemporaneamente attraverso le due fenditure come un’onda, ma colpisce il rilevatore in un singolo punto, come una particella.

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