venerdì 9 agosto 2019

L'ESPLORAZIONE DELL'INFINITO CON LE GRANDI IDEE DELLA MATEMATICA


Qual è l'elemento più importante della matematica, rilevante anche per i non matematici? E' l'idea, perché la matematica cambia, evolve, si modifica, si migliora e diventa uno strumento essenziale per la nostra vita grazie alle idee. E' per questo motivo che Hachette Fascicoli ha ideato la collana di libri "Grandi idee della matematica", disponibile in edicola e sul sito ad hoc dal prossimo 24 agosto.

40 libri - accessibili anche dai non addetti ai lavori - presentano i temi più importanti della matematica: dalla comparsa dei numeri fino ai bit coin e alla matematica finanziaria. Il filo conduttore è la successione cronologica, e riguarda non solo l'intera collana, ma anche ogni singolo volume, perché - tramite l'opera dei vari matematici che si sono succeduti nel tempo - possiamo capire com'è stato costruito quell'edificio di idee, teoremi, algoritmi e formule su cui poggia tutta la scienza che oggi ci consente di vivere in modo confortevole.

Dal 24 agosto potrete acquistare: "In principio era il numero. L'umanità impara a contare"; la seconda uscita - in edicola nella settimana successiva - sarà: "L'infinito - viaggio o destino?" ed è proprio di quest'opera che voglio parlarvi, perché l'ho letta in anteprima per voi.

Innanzitutto, perché dovreste leggere un libro sull'infinito? Perché - interpretando liberamente il pensiero di David Hilbert - posso affermare che non esiste nulla di più pervasivo, evocativo ed inspiegabile dell'infinito. Detto questo, da dove si comincia? Dal capitolo zero naturalmente, dove la narrazione filtra attraverso gli autori che hanno fatto la storia dell'infinito: tutto viene raccontato in diretta, proprio mentre ogni matematico sta concludendo una delle sue opere più importanti, e le sue scoperte serviranno da punto di partenza per i suoi successori.

Nel capitolo 1 l'infinito è "in potenza", cioè non è qualcosa che esiste realmente; cito l'autore: "l'infinito, come diceva Gauss, non è altro che un modo di dire, uno strumento per l'analisi matematica che non esiste in natura".
La trattazione qui è classica: funzioni – successioni – limiti – infiniti – derivate -, però salta sempre fuori la storia dell’analisi matematica dal XVII secolo in avanti, quindi Leibniz, i fratelli Bernoulli (Jakob e Johann) e il marchese De L’Hopital con la sua idea – piuttosto moderna – di un manuale divulgativo di matematica. 
Nel secondo capitolo la domanda è: “L’infinito esiste realmente? E, se esiste, ce n’è solo uno?”. Dati due insiemi, ciascuno contenente una quantità infinita di elementi, come si fa a stabilire quale dei due sia il più grande? Possiamo girare la domanda a Georg Cantor, considerato il padre della teoria degli insiemi. Il problema è se è possibile contare una quantità infinita di elementi oppure no e – anche in tal caso – non è detto che ciò rappresenti un limite. Infatti è possibile usare la strategia della corrispondenza biunivoca, ovvero provare a far corrispondere ciascun elemento dell’insieme A con ciascun elemento dell’insieme B: se ciò è possibile i due insiemi sono equipotenti, cioè di uguale grandezza.
Altrimenti possiamo porre lo stesso quesito al Prof. Yaroslav Sergeyev – che non trovate nel libro in oggetto, ma andrebbe incluso per molti motivi, che scoprirete più avanti – il quale risponderebbe che per misurare qualcosa, anche se si tratta di una quantità infinita, occorre un buon metro. A tal proposito, lui ha ideato il “grossone” che è proprio ciò che serve, in quanto è un’unità di misura dell’infinito.
Ma torniamo a Cantor. Lui non usa il classico simbolo di infinito ad otto rovesciato, ideato da John Wallis, ma ne elabora un altro, perché vuol ricordarci che l’infinito è reale. La vicenda umana di Cantor è esemplare e tipica di quei matematici che si inoltrano in un terreno inesplorato, ma purtroppo scivoloso e pieno di insidie. Così la definizione – di Cantor – secondo cui: “ogni insieme è la raccolta in una totalità di determinati oggetti che la nostra percezione e il nostro pensiero avvertono come distinti” viene confutata da Bertrand Russel. Ma Cantor lascia idealmente il testimone e la sua “ipotesi del continuo” ad Ernst Zermelo (1871 – 1953), che si rende conto che occorre elaborare una nuova teoria degli insiemi. Perché mettersi all’opera per fare un lavoro così gigantesco? E’ come dire: perché un alpinista dovrebbe scalare una montagna? “Per godersi il cammino e assaporare la felicità di aver raggiunto la meta” scrive testualmente Francesc Rossel I Pujos, autore del libro che stiamo percorrendo insieme.
E così Zermelo scrive una nuova teoria degli insiemi e scopre che esiste un altro modo per confrontare la cardinalità degli insiemi (cioè per capire fra due insiemi con una quantità infinità di elementi quale sia quello di dimensioni maggiori): utilizza le funzioni iniettive. Ma la costruzione di Zermelo cade sotto i colpi di Cesare Burali Forti e il testimone passa ad Abraham Halevi Fraenkel. Gli assiomi di Zermelo diventano Z.F.C. ovvero Zermelo – Fraenkel – assioma della scelta (Choice in inglese), ma l’ipotesi del continuo (I.C.) resta inespugnata. Anzi, nel 1940 Kurt Godel dimostra che è impossibile dimostrare che l’ipotesi del continuo sia falsa; ma poi, nel 1963, Paul Cohen dimostra che è impossibile dimostrare che l’I.C. sia vera.
Se vi siete persi o ritenete che sia impossibile ottenere risultati opposti e contrastanti, significa che dovete rivedere le vostre idee sulla matematica, che non è quella che (discutibili) insegnanti vi hanno spiegato a scuola, ovvero la scienza della verità infallibile e assoluta, l’unica scienza che non si è evoluta dai tempi di Euclide. A prescindere dal fatto di ritenere che la matematica poggi sulla teoria degli insiemi, che ne costituiscono le fondamenta, la matematica è comunque una scienza ed è quindi vera finché non viene dimostrata falsa, inoltre evolve come tutte le scienze. E proprio su questo punto occorre fare un passo in avanti: non possiamo fermarci alla matematica scolastica del 1600-1700, perché nel ‘900 e persino dal 2000 in avanti sono successe un sacco di cose. 
Anche se Cantor ha dimostrato che i numeri reali non possono essere contati, il matematico norvegese Thoralf Albert Skolem (1887 – 1963) ci ricorda che: “dato un insieme numerabile di istruzioni, tutto ciò che può essere definito da questo insieme sarà a sua volta numerabile” (Teorema di Lowenheim – Skolem). Viene quindi riportata l’attenzione sul linguaggio della matematica, cioè – come li definisce anche il già citato Yaroslav Sergeyev – sugli strumenti che, in modo analogo a pinze, martelli e cacciaviti, possono sempre essere modificati, migliorati e perfezionati. Possiamo quindi avere diverse logiche, diverse teorie degli insiemi e diverse matematiche da cui derivano diverse applicazioni nel mondo reale. Così, in base a precisi postulati e scegliendo un opportuno sistema numerale, l’infinito diventa misurabile, come dimostrato da Sergeyev, ma l’infinito diventa anche perfettamente reale dentro un quadro costruito con il sistema della prospettiva, ideato e dimostrato da Filippo Brunelleschi; eppure il continuo non esiste, perché la meccanica quantistica – da Max Planck in avanti – ha dimostrato che l’energia è quantizzata, cioè è discreta, in quanto ne esistono solo multipli interi di “h” per “v”, dove “h” è la costante di Planck e “v” la frequenza. E con la nuova meccanica quantistica torniamo indietro ad una concezione di infinito ed infinitesimo vecchia di 2000 anni. E’ quindi evidente che l’infinito è un viaggio e i matematici sono esploratori di nuovi mondi.

Walter Caputo
Divulgatore scientifico








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