CALZINI ROVESCIATI E ALTRE COSE DA TOPOLOGI: IMMAGINI DELLA MATEMATICA

Avete un calzino in mano? No? Allora prendetelo e rovesciatelo. Naturalmente è stata un'operazione molto semplice. D'altronde il calzino è bucato, altrimenti non potreste indossarlo. Ed è stato semplice rovesciarlo proprio perché è bucato.

Ora provate a prendere una sfera, che sia fatta però di un materiale molto flessibile, e provate a rovesciarla. Attenzione: la sfera è una superficie chiusa, quindi - durante il rovesciamento - è possibile autointersecarla. Ma c'è una regola: non potete generare spigoli vivi. Cosa che vi capiterà puntualmente non appena schiaccerete la sfera fino a ridurla ad una frittata.

Non sembra un'operazione molto semplice e - non a caso - ci è voluto un matematico del calibro di Stephen Smale per riuscire a dimostrare la fattibilità del rovesciamento. Ed è successo tanto tempo fa, nel lontano 1919. Roba da topologi, direte voi. Sì, ma la topologia risulta straordinariamente interessante, forse perché si tratta di una geometria molto lontana da quella che si studia a scuola, ed è quindi tutt'altro che noiosa, in quanto gli oggetti non vengono descritti tramite misure, ma bensì rappresentandone la costruzione, spesso a partire da oggetti più semplici (talvolta anche di uso comune).

Superficie a collare

Ma allora? Come rovesciare una sfera senza generare spigoli vivi? Occorre, prima di procedere, torcere i bordi della sfera in modo da evitare gli spigoli vivi dovuti allo schiacciamento. Inoltre, schiacciando dal basso la sfera, la si fa fuoriuscire dall'alto bucando la sua stessa superficie, mentre i bordi - durante l'operazione - sembrano petali facilmente rovesciabili. Questa idea è di William Thurston, ed è stata illustrata nel video "Outside in".

Il punto è che, quando si parla di Topologia, occorrono immagini. E di immagini ne trovate tante, assolutamente bellissime ed inerenti a molti aspetti della matematica, dove? Nel libro "Immagini della matematica", scritto da Georg Glaeser e Konrad Polthier, pubblicato da Raffaello Cortina Editore in collaborazione con Springer. Il bello di questo libro è che potete cominciarlo da dove volete: potete aprire una pagina a caso e rimanere incollati mezz'ora ad ammirare un'immagine. Poi lo leggerete anche, ma senza ansia, senza obbligo di giungere alla fine. Perché non c'è una fine: cominciate dove vi pare e terminate quando siete sazi. 

Strisce sviluppabili

La matematica viene spesso insegnata a partire dalle equazioni o comunque da formule, così siamo un po' tutti privi di immaginazione perché non abbiamo immagini della matematica e - forse - non abbiamo mai pensato di cominciare proprio dalle immagini.

Io l'ho fatto e mi sono divertito a costruirne qualcuna, anche per ridare quella concretezza alla matematica che molti non le riconoscono, relegandola al mondo delle astrazioni. La prima immagine che mi ha particolarmente colpito è stata la superficie a collare. E' molto semplice da realizzare: basta un foglio su cui va disegnata una curva, tale foglio va poi piegato lungo la curva disegnata. Nonostante la semplicità, sono riuscito a sbagliare poiché ho involontariamente cambiato concavità, generando in questo modo un punto di flesso, che impediva necessariamente la costruzione della superficie. Come si vede dall'immagine, ho anche segnato l'errore e poi ho realizzato concretamente la superficie desiderata.

Carissimi designer (industriali e non), sappiate che "Immagini della matematica" è un imponente catalogo di forme estetiche accattivanti. Ma dico anche a voi, che vi dilettate nel fai-da-te: perché non realizzate una lampada utilizzando una superficie a collare? Non sarebbe male anche un portagrissini o un portatovaglioli...
E voi artisti, sapete che questo libro ha avuto origine soprattutto dall'Università di Arti Applicate di Vienna? Così come il grande Gustav Klimt iniziò la sua carriera proprio alla Scuola di Arti Applicate di Vienna....

Nastro di Mobius

Non meno interessanti sono le strisce sviluppabili, ovvero superfici (utilizzate nell'ingegneria edile) che possono curvarsi, in qualche senso, solo in una direzione. Ecco, io ne ho abbozzata una utilizzando una semplice striscia di carta, che ho piegato ad intervalli regolari, facendola aderire ad un portapenne da scrivania. In questo modo è all'incirca un insieme di quadrilateri, ma basta fare delle pieghe sempre più fitte per avere una superficie "quasi" curva. Diciamo che - così facendo - dal punto di vista matematico si ha l'illusione del continuo.

Infine mi sono soffermato sul "classico" nastro di Mobius, ripercorrendo con le dita la mia approssimazione cartacea, come se fossi una formica che riesce a passare disinvoltamente dall'interno all'esterno e poi ancora dall'esterno all'interno. A questo punto non posso che augurarvi buona lettura, buon divertimento e.... buone vacanze !!!

Walter Caputo

APPROFONDIMENTI

Stephen Smale:  Vita da matematico 
Topologia:  La congettura di Poincaré 
Creatività e immaginazione: Il divertimento nella topologia
William Thurston: Tempo tempo tempo....

NOTE

Per coloro che sono interessati alle opere di Klimt: Artsy (segnalato da un lettore).